矩阵理论 课件 第4章第4节数字矩阵的Jordan标准型.pptx

数字矩阵的Jordan标准型

4.4

数字矩阵的Jordan标准型

矩阵相似的条件

引理4.2设A与B为两个n阶矩阵，若存在n阶数字矩阵P和Q,使得λE-A=P(λE-B)Q

则A与B相似.

证比较上式两端入的同次幂的系数矩阵，可得

PQ=E,A=PBQ

从而，Q=P-¹,得A=PBP-¹,故A与B相似.

引理4.3设A与B为两个n阶方阵，若它们的特征矩阵λE-A与λE-B等价，则存在n

阶数字矩阵P和Q,使得

λE-A=P(λE-B)Q

定理4.13n阶方阵A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵λE-A与λE-B等价.

证必要性：若A与B相似，则存在可逆矩阵P,使得P-¹AP=B,从而P-¹(λE-A)P=λE-B

而P-¹和P均可视为可逆的入-矩阵，故λE-A与λE-B等价.

充分性：若λE-A与λE-B等价，则由引理4.2与引理4.3可以证明.

定义4.13设A是n阶数字矩阵，其特征矩阵λE-A的行列式因子、不变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子.

例4.7求矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子.

解A的特征矩阵为

数字矩阵的Jordan标准型

故D₂(A)=D₁(A)=1.从而，A的不变因子为d₁(2)=1,d₂(A)=1,d₃(A)=(λ-2)(λ-1)².于是，A的初等因子组为(λ-2),(λ-1)².

例4.8求如下矩阵的不变因子与初等因子(其中，C₁,C₂,…,Cn-1为非零常数):

行列式因子为

D₃(A)=|λE-A|=(λ-2)(λ-1)²

由于它有两个2阶子式

数字矩阵的Jordan标准型

所以D,(A)=(λ-a),去掉第1行第n列后，剩下的n-1阶子式为c₁c₂…Cn-1≠0,从而，Dn_(A)=1,由此得

D₁(λ)=D₂(A)=…=Dn-1(λ)=1

故A的不变因子为

d₁(λ)=d₂(A)=…=dn-1(A)=1,dn(A)=(λ-a)

初等因子为

(λ-a)

数字矩阵的Jordan标准型

解因为

定理4.14n阶矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同

的不变因子.

由于特征矩阵满秩，因此根据定理4.14立即可得.

定理4.15n阶矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的初等因子.

数字矩阵的Jordan标准型

前面曾指出，n阶数字矩阵不一定可对角化，但总可以相似于一个比对角矩阵稍复杂的

Jordan标准型.Jordan标准型在数值计算中经常采用，它不仅可用于计算矩阵的方幂，还在

矩阵函数、矩阵级数、微分方程等方面有着广泛的应用.

数字矩阵的Jordan标准型

Jordan标准型及其计算

定义4.14形如

称为n阶Jordan标准型，其中Jm(k=1,2,…,s)为m阶Jordan块，.例如：

数字矩阵的Jordan标准型

定义4.15由若干Jordan块的直和构成的分块对角阵

是一个6阶Jordan标准型，它由3个Jordan块构成.

准型的方法.

方法1初等因子法

引理4.4m阶Jordan块

只有一个初等因子(λ-2).

证明仿照例4.7即可.

注n阶对角矩阵是Jordan标准型的特例，它由n个1阶Jordan块构成.

下面讨论任何一个方阵A相似于某个Jordan标准型的条件，以及如何将A化为Jordan标

数字矩阵的Jordan标准型

的初等因子组为

(λ-2),(λ-λ₂)2,…,(λ-λ)

且

定理4.16任意一个n阶复矩阵A都与一个Jordan标准型J相似，若不考虑J中Jordan块的排

列顺序，则J由A唯一确定.

证设A的特征矩阵λE-A的初等因子组为

(λ-λ),(λ-λ2)2,…,(λ-λ)

如果用Jm(Ak)表示主对角线上元素为λ的m,阶Jordan块，则Jordan标准型

数字矩阵的Jordan标准型

数字矩阵的Jordan标准型

且.每个(A-λ)“对应一个主对角线元素为λ、阶数为m的Jordan块Jm(Rk),所

有Jm(k)的直和构成J.因此，J的初等因子组为

(λ-2),(λ-λ)2,…,(λ-λ)m

因为