第9讲 指数与指数函数（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

9第讲指数与指数函数

1、指数及指数运算知识梳理

(1)根式的定义：

n∗n

一般地，如果x=a，那么x叫做a的n次方根，其中(n1，n∈N)，记为a，n称为根

指数，a称为根底数．

(2)根式的性质：

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.

n

(3)指数的概念：指数是幂运算a(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于

底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类n个

n∗0

①正整数指数幂a=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a(n∈N)；②零指数幂a=1(a≠0)；

-n1∗

③负整数指数幂a=(a≠0，n∈N)；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数

幂没有意义．an

(5)有理数指数幂的性质

mnm+nmnmn

①aa=a(a0，m，n∈Q)；②(a)=a(a0，m，n∈Q)；

mmmnmm

n

③(ab)=ab(a0，b0，m∈Q)；④a=a(a0，m，n∈Q)．

2、指数函数x

y=a

0a1a1

图象

性质①定义域R，值域(0，+∞)

0

②a=1，即时x=0，y=1，图象都经过(0，1)点

x

③a=a，即x=1时，y等于底数a

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

xxx

⑤x0时，a1；x0时，0x0时，0a1；x0时，a

x

a11

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

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1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论．

(2)当0a1时，x→+∞，y→0；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．

当a1时x→+∞，y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．

x1x

(3)指数函数y=a与y=