2024_2025学年新教材高中数学基础练12基本不等式含解析新人教A版必修第一册.doc

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基本不等式

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．下列不等式中，正确的是()

A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab

C．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)

【解析】选D.a0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b24ab，故B错，a＝4，b＝16，则eq\r(ab)eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2．若0≤x≤6，则f(x)＝eq\r(x（8－x）)的最大值为()

A．eq\f(16,3)B．4C．eq\f(4\r(3),3)D．eq\r(5)

【解析】选B.因为0≤x≤6，所以8－x0，所以f(x)＝eq\r(x（8－x）)≤eq\f(x＋（8－x）,2)＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故f(x)的最大值为4.

3．若f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x2)在x＝n处取得最小值，则n＝()

A．eq\f(5,2)B．3C．eq\f(7,2)D．4

【解析】选B.由f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)0，即x＝3时，取得等号．

4．若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】选A.当a0，b0时，a＋b≥2eq\r(ab)，则当a＋b≤4时有2eq\r(ab)≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．当a＝1，b＝4时满意ab≤4，但此时a＋b＝54，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．

5．(2024·玉溪高一检测)若实数a，b满意eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()

A．eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4

【解析】选C.由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，得ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)时取“＝”．

6．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是()

A．4B．8C．16D．32

【解析】选B.由题意，正实数x，y且xy＝4，可得y＝eq\f(4,x)，

则x＋4y＝x＋eq\f(16,x)≥2eq\r(x×\f(16,x))＝8，当且仅当x＝eq\f(16,x)时，即x＝4时等号成立，

所以x＋4y的最小值是8.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．设x0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为______．

【解析】y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥

2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．所以函数的最小值为0.

答案：0

8．若a，b是正实数且a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为

________．

【解析】因为a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(a＋b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)＋3≥2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＋3＝3＋2eq\r(2)，

当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1,\f(b,a)＝\f(2a,b)))，

即a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2)时，等号成立．

答案：3＋2eq\r(2)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．设a，b，c都是正数，求证eq\f(bc,a)＋eq\f(a