2024_2025学年新教材高中数学第3章不等式3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式的应用课后巩固提升含解析苏教版必修第一册.docx
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第3章不等式
3.2基本不等式(a,b≥0)
3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式的应用
课后篇巩固提升
必备学问基础练
1.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式正确的是()
A.1 B.≥1
C.2 D.≥2
答案B
解析因为ab≤2≤2=4,所以≥2≥2=1,当且仅当a=b=2时,等号成立.
2.若x0,y0,且=1,则xy有()
A.最大值64 B.最小值
C.最小值 D.最小值64
答案D
解析由题意xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,当且仅当x=4,y=16时,等号成立,故xy有最小值64.
3.(2024黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试)下列说法正确的是()
A.x+的最小值是4
B.的最小值是2
C.若0x1,则x(1-x)的最小值为
D.假如ac2bc2,那么ab
答案D
解析对于A,当x0时,x+的值小于0,故A不正确;对于B,≥2,当且仅当=1时,等号成立,这样的x不存在,故最小值不为2,故B不正确;对于C,∵0x1,∴1-x0,∴x(1-x)≤2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,故C不正确;对于D,∵ac2bc2,∴c20,∴ab,故D正确.故选D.
4.(2024陕西新城西安中学高三月考)设a0,b0,且不等式≥0恒成立,则实数k的最小值等于()
A.0 B.4 C.-4 D.-2
答案C
解析由≥0,得k≥-.因为+2≥4(当且仅当a=b时,等号成立),所以-≤-4.要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.
5.若a0,b0,且,则a3+b3的最小值为.?
答案4
解析∵a0,b0,∴≥2,即ab≥2,当且仅当a=b=时,等号成立.∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时,等号成立.则a3+b3的最小值为4.
6.已知0x1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为.?
答案
解析由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×2=,当且仅当3x=3-3x,即x=时,等号成立.
7.若对随意x0,≤a恒成立,则实数a的取值范围是.?
答案,+∞
解析因为x0,所以x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立.
所以,
当且仅当x=1时,等号成立.
即的最大值为,故a≥.
8.(1)已知x3,求y=+x的最大值;
(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求的最小值.
解(1)∵x3,∴x-30,
∴y=+x=+(x-3)+3
=-+(3-x)+3
≤-2+3=-1,
当且仅当=3-x,即x=1时,等号成立.
∴f(x)的最大值为-1.
(2)∵x,y是正实数,
∴(x+y)=4+≥4+2,
当且仅当,即x=2(-1),y=2(3-)时,等号成立.
又x+y=4,∴≥1+,
当且仅当x=2(-1),y=2(3-)时,等号成立.
故的最小值为1+.
关键实力提升练
9.若-4x1,则y=()
A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值-1 D.有最大值-1
答案D
解析y=(x-1)+.∵-4x1,∴x-10.故y=--(x-1)+≤-1,当且仅当x-1=,即x=0时,等号成立.
10.已知x0,y0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()
A.16 B.25 C.9 D.36
答案B
解析(1+x)(1+y)≤2=2=2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立.故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.
11.已知a0,b0,若不等式恒成立,则m的最大值为()
A.10 B.12 C.16 D.9
答案D
解析由已知a0,b0,若不等式恒成立,则m≤(a+b)恒成立.问题转化成求y=(a+b)的最小值,y=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当a=2b0时,等号成立.所以m≤9.故选D.
12.(2024浙江西湖学军中学高一月考)设正实数x,y,z满意x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,的最大值为()
A.0 B.3 C. D.1
答案D
解析∵正实数x,y,z满意x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2.∴=1,当且仅当x=2y0时,等号成立,此时z=2y2.∴=--12+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立.即的最大值是1.故选D.
13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,其次年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则()
A.x= B.x≤
C.x D.x≥
答案B
解析由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤2,所以1+x≤=1+,所以x≤,当且仅当a=b时,等号