《导数与函数的单调性》课件 (1).pptx

6.2.1导数与函数的单调性

激趣诱思知识点拨MTF是目前分析镜头的解像力跟反差再现能力使用比较科学的方法.这种测定光学频率的方式是以一个mm的范围内能呈现出多少条线来度量,其单位以line/mm来表示.右图是三只不同镜头的MTF与空间频率的关系图.随着频率增加的变化,MTF发生了什么变化?如何来研究这种变化呢?

激趣诱思知识点拨用导数研究函数的单调性一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)上是增函数,如图(1)所示.(2)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)上是减函数,如图(2)所示.

激趣诱思知识点拨名师点析导数与函数单调性关系的深入理解(1)若在区间(a,b)上有f(x)0,则f(x)在该区间上单调递增;若在区间(a,b)上有f(x)0,则f(x)在该区间上单调递减.(2)若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,则f(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;同理,若函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,则f(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立.(3)对于函数f(x)来说,f(x)0是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件;f(x)0是f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数,但f(0)=0,所以在x=0处不满足f(x)0.(4)当函数f(x)的单调递增(或递减)区间有多个时,各区间之间不能用“∪”连接,用“,”或“和”连接.

激趣诱思知识点拨微思考1函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系?提示:导数的绝对值函数值变化函数的图像越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)微思考2如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特征?提示:f(x)是常数函数.

激趣诱思知识点拨微练习函数f(x)=2x-sinx在(-∞,+∞)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减 D.不确定解析:∵f(x)=2x-sinx,∴f(x)=2-cosx0在(-∞,+∞)上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.答案:A

探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数与导函数图像间的关系例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f(x)的图像可能为()

探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知f(x)是f(x)的导函数,f(x)的图像如图所示,则f(x)的图像只可能是()

探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)由函数的图像可知,当x0时,函数单调递增,导数始终为正;当x0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正.对照选项,应选D.答案:(1)D(2)D

探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟研究函数与导函数图像之间关系的方法研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知y=xf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图像中,y=f(x)的图像大致是()

探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:当0x1时,xf(x)0,∴f(x)0,故f(x)在(0,1)上为减函数;当x1时,xf(x)0,∴f(x)0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.答案:C

探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用导数求函数的单调区间例2求下列各函数的单调区间:(1)f(x)=2x3-3x2;(4)f(x)=ex+ax.思路分析可按照求函数单调区间的步骤进行求解,其中:(1)要注意单调区间的写法;(2)要注意导数的求法;(3)要注意正弦函数的性质;(4)要注意对参数a进行讨论.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)函数定义域为R,且f(x)=6x2-6x.令f(x)0,即6x2-6x0.解得x1或x0;令f(x)0,即6x2-6x0,解得0x1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间是[0,1].

探究一探究二探究三素养形成当堂检测

探究一探究二探究三素养形成当堂检测(4)函数定义域为R,且f(x)=ex+a.①当a≥0时,f(x)=ex+a0恒成立,f(x)在R上单调递增;②当a0时,由f(x)=ex+a0,得ex-a