《认识无理数》教学设计.docx
《认识无理数》教学设计
学科
初中数学
课题
认识无理数
章节
八年级上册第二章第一节
1.教学内容分析
从有理数到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，初中阶段的多数问题都是在实数范围内进行的。本课时通过了解数学史上的第一次数学危机，认识无理数产生的实际背景，感受无理数的广泛性，明确无理数的定义，会用数学眼光表达。在思想方法上，感受合情推理和演绎推理的异同，体会无限逼近的思想。本课时将有理数域扩充到了实数域后，为实数的运算和应用做好铺垫。
2.学情分析
学生经历过正数到负数的扩充过程，掌握有理数是整数和分数的统称，也可以分为正有理数、0和负有理数，会用计算器进行平方运算；在活动经验上经历过用面积法验证完全平方公式、平方差公式，利用图形无缝拼接探索面积相关问题的活动经验，初步了解勾股定理，能够用勾股定理计算简单直角三角形类边长问题。
3.思政育人融入分析
1.科学态度：敢于质疑、敢于追求真理。通过学生讲解希帕索斯为真理而献出生命的故事，让学生树立树立敢于质疑、敢于追求真理的理念。
2.理性精神：培养规则意识、提升推理能力。通过发现无理数，到定义无理数的过程，培养学生建议和遵守规则的意识；通过验证无理数既不是整数，也不是分数的过程，提升学生合情推理和演绎推理的能力。
3.数学文化：了解数学史、提升数学审美和数学底蕴。通过了解数学史上三次数学危机，知道危机并不会阻碍数学的发展，相反会给数学带来了新的生机，提升学生的数学审美和数学底蕴。
4.目标确定
1.了解数学史上的第一次危机，体会数学家对探索数学真相的无畏精神，树立敢于质疑、敢于追求真理的信念。
2.通过拼图活动，直观理解无理数的存在性，借助计算机探索无理数是无限不循环小数的过程，从中体会无限逼近的思想，感受合情推理和演绎推理的魅力。
3.理解无理数的定义，体会数系扩充的必要性，会判断一个数是有理数还是无理数。
学习重点难点
教学重点：认识无理数，体会熟系扩充的必要性。
教学难点：用有理数无限逼近无理数的方法。
6.学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：情境引入
教师活动
教师展示PPT，用有趣的语言讲述第一次数学危机的发生背景：大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为万物皆数，世间万物都可以用整数或整数之比来表示。毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现了一种数无法用整数或者整数之比来表示。他的新发现与毕达哥拉斯学派内部形成了对立，引起了学派内部的恐慌,因为他违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰，引发了第一次数学危机。为了减少希帕索斯的影响，毕达哥拉斯命人把希帕索斯扔进了爱琴海。
问题：希帕索斯发现了一种什么样的数？他是怎么发现的？
学生活动
学生认真聆听，积极参与，认真思考，并在教师提出问题之后，立刻行动起来。
设计意图
了解无理数发现的历史背景，把学生代入公元前5世纪的那段历史，激发学生探索精神，提升学生的学习热情。
环节二：初步探索
教师活动
希帕索斯用毕达哥拉斯发现的“毕达哥拉斯定理”，也就是勾股定理得到了一个数的平方等于2，现在我们另外一种方式来直观地解释这个数的存在。
动手操作：请你把准备的两个相同的正方形通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，并说说你是怎么拼起来的？
问题1：设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
问题2：a可能是整数吗？说说你的理由。
问题3：a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
问题4：a究竟是个什么数呢？它是多大呢？让我们借助计算器来估算一下。让我们借助计算器来估算一下。
估算1：因为，，所以1a2
估算2:因为，所以1a1.5
估算3：因为，所以1.25a1.5
估算4：因为，
所以1.375a1.5
估算5：因为，
所以1.375a1.4375
估算6：因为，
所以1.40625a1.4375
......
问题5：还可以继续算下去吗？会不会算到某一次，这个数的平方恰好等于2？
问题6：所以，你现在觉得a是一个什么数？
学生活动
学生积极动手操作，将手上的正方形纸片通过拼剪的方式得到一个大正方形，并充分展示自己的方法。
问题1：同学一起回答；
问题2：两到三个同学回答，说理即可；
问题3：与同伴进行讨论并分享
问题4：在教师引导，了解“二分法”的操作过程，并在小组内借助计算器完成至少6次的估算；
问题5和问题6：自由回答，说出自己的看法；
设计意图
设计剪拼活动的目的是让学生重温希帕索斯发现无理数的过程，直观地感知平方等于2的数是存在的，增加学生的体验感。问题2和问题3一般都不是这个年龄段的学生自发产生的问题，这样的问题对于八年级学生而言相对较为抽象、理性，课堂可能偏枯燥，设计剪拼活动的可以较好地调节课堂气氛，让学生对于“a不是有理数”的感受更加充分。
环节三：深入探索
教师活