西工大最优控制课程 第五章　极小值原理及其应用-1.ppt

引理2证明(步骤1) 　 因此，目标值之差 中 经相同的推导过程可得 　最小值原理的两个引理 引理2证明(步骤2) 　 令　　　　　，并将上述推导结果代入目标值之差 代入推 导结果 　最小值原理的两个引理 引理2证明(步骤2) 　 移项 　最大值原理　最小值原理的两个引理 引理2证明(步骤2) 　 积分展开 分部积分 　最小值原理的两个引理 引理2证明(步骤2) 　 证明完毕　 零项 　最小值原理的两个引理 泛函求极值　 其中 ，泛函极值存在的必要条件为　 1　最小值原理（maximum principle） （二）连续系统最小值原理 第一步　 当控制量有界（　　　　　　）时，下面的条件 仍然成立　 2　最小值原理的证明 （无法被应用于求解） 因此只需要证明第三个条件 第二步　 证明 证明思路：若 则必有 证明方法：反证法 证明：设存在某一时刻　　　　　　，在此时刻存在 控制量　　　　　　能使下式满足 第二步　 若某一时刻　　　　　　，存在　　　　　能使下式满足 假定　　按段光滑，　　　　　　　　均连续。 则必存在　　的一个邻域　　　　， 由于 而　　按段光滑，　　　　　　　　均连续。 因此对　　　内任意的　，即　　　　　，均有 为一个大于零的无穷小量 第二步　 亦即：　　　　　，取控制量为　　　　，有 因此控制量可以取为 问题是：如上取的控制量是否还能满足 第三步　 取控制量为 看是否还能满足 由引理2 ，最优目标值与（非最优）目标值之差为　 按控制量的取值时间对积分区间进行分段　 第三步　 最优目标值与（非最优）目标值之差为　 按控制量的取 值时间对积分 区间进行分段　 第三步　 最优目标值与（非最优）目标值之差为　 由于：　　　　　，取控制量为　　　　，有 因此最优目标值与（非最优）目标值之差为　 即　 第三步　 由上面的推导过程，只要有任何一个时刻　　　　　　　 存在控制量　　　　　使得 都可以由选择控制量的方法得到 的结论。 因此，只有满足　　　　　　， 才有 证明完毕 第三步　 2　　　　　　　是泛函极值存在的充要条件。 　　表面上看，　　　　　　　　　　　　　　　　是　　　　　　 　　　　　　　　的充要条件，因此也是泛函极值存在 　　的充要条件。 　　但事实上，　　　　　　　　　　　　　　　　中的　　　　　 　　　　　　要由必要条件获得，因此，它只是泛函极值 存在的必要条件。 说明： 1　 以上证明过程是按最小值原理进行的，对于最大值原 理，其证明思路相同。 第三步　 说明： 3 说明，当　 和 都从容许的有界集U中取值时，只有　　才能使哈密　 　　顿函数值为全局最小。 4　 经典变分法求解控制向量无界时的泛函求极值问题是 　　最小值原理的一个特例。 5　 对于时变系统以及时变的目标函数，同样有H全局最小的关系，即仍有最小值原理成立。但证明更复杂。 （三）最小值原理的具体表达形式 一、定常系统定理 其中 ，f[x(t),u(t)]为n维微分约束向量函数。 容许控制u(t)在m维向量空间Rm的有界闭集U中取值　 设定常系统状态方程为 边界条件为 目标泛函为 其中的Φ和L均为标量函数。 要使性能指标达最小值，以实现最优控制的必要条件为： （1）正则方程组 伴随方程 状态方程 （2）极值条件 二、非定常系统定理 其中 ，f[x(t),u(t)]为n维微分约束向量函数。 容许控制u(t)在m维向量空间Rm的有界闭集U中取值　 设时变系统状态方程为 边界条件为 目标泛函为 其中的Φ和L均为标量函数。 要使性能指标达最小值，以实现最优控制的必要条件为： （1）正则方程组 伴随方程 状态方程 （2）极值条件 三 典型H(u)曲线的 选择 设在容许控制范围内，有如下图所示的典型H(u)曲线。 （a） H u u0 u1 H(u)为非线性函数，用变分法则选择 =u1，而用最小值原理则选择界值 =u0 （b） H u u0 H(u)为单调函数或线性函数，不存在极值，用变分法无法求解，而用最小值原理则选择界值 =u0 （c） H u u0 u1 H(u)存在极值且唯一，变分法求解和最小值原理均选择值 =u1 四、 几种典型H(u)的最优控制候选函数 （1） 则 λ=0时切换控制，某些问题只具有+1或-1的控制，，某些则是{+1，-1}的组合函数，有两位控制之称。 （2） 则 λ=+1及λ=-1时切换控制，当控制为{+1，0，-1}或{-1，0，+1}的组合函数时，有三位控制之称。 （3） 则 λ=+1及λ=-