西工大最优控制课程 专题2 鲁棒控制.ppt

专题2 鲁棒控制 引言 控制科学中最重要的一个概念就是反馈，反馈主要点在于考虑了实际系统中存在的不确定性，一定程度上反馈可使闭环系统具有合适的动态特性而不受开环所可能产生的摄动影响。 随着控制系统应用范围的扩大，对象日益复杂。控制系统复杂性中不确定性是最重要的一个因素。 引言 G. Zames在1981年发表论文Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations , multi-plicative seminorms, and approximate inverses(IEEE Trans. Auto. Control,vol.AC-26,p301-320),建立 方法。 J. C . Doyle等将 问题的求解归结为求解两个Riccati 方程，从而沟通了二次型最优控制与 控制的本质联系。这是 控制中一个具有里程碑性质的结果。 标准 框架 G K y Z w u W表示外界干扰，y为向控制器提供的测量值，u为控制器输出，z是误差信号，在设计中希望足够小。 引言 鲁棒性： 假定对象的数学模型属于一集合P，考察反馈系统的某些特性，如内部稳定性，给定一控制器K，如果集合P中的每一个对象都能保持这种特性成立，则称该控制器对此特性是鲁棒的。 控制器、一个对象的集合，某些系统特性 稳定鲁棒性RS 性能鲁棒性RP 参数摄动 （模型的不确定性） 不确定性系指模型与现实之间的差别或误差，因此，不仅要采用单一的参数化模型，还要采用那些允许受控对象的动态特性在模型结构中不能清晰表达出来的模型集合。 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 不确定模型的Nyquist曲线举例 给定一个不确定模型集合Π的表示以及一个性能指标的集合，假设P∈Π是标称设计模型、K是在此设计上所得的控制器，则闭环反馈系统称为具有 标称稳定性（NS）：若K使标称模型P内镇定； 鲁棒稳定性（RS）：若K使属于Π中的每一个受控对象均内镇定； 标称性能（NP）：若标称受控对象P满足性能指标； 鲁棒性能（RP）：若对每一个属于Π的受控对象，性能指标均满足。 引言 控制系统的摄动 -----实际系统与所建立的模型之间存在差异 来源1：建模中简化引起的误差； 来源2：被控对象本身具有不确定性。 研究的最普遍的两种非结构模型摄动 附加摄动 相乘摄动 引言 鲁棒度 系统在维持某些特性的条件下，所允许的某类参数摄动的最大度量，亦称鲁棒测度. D-稳定性 线性定常系统 ，若矩阵A的特征值集合 其中D是复平面上任意指定区域，则称该系统是D稳定的 引言 互质矩阵 式中 均为多项式矩阵，其中 为右互质矩阵， 是左互质矩阵 互质矩阵的定义： 记M(R)为矩阵集，其元素在环R内，假设环R是可交换的，并具有乘法的统一性，两个矩阵A和B有相同的列，且都属于M(R)。如果A和B的每个最大右公约数是单位模的，则称A和B是右互质的；如果A和B有相同的行，且都属于M(R),其每个最大左公约数是单位模的，则称A和B是左互质的。 一、H∞最优控制理论 背景：LQG可实现多变量的动态补偿器设计，但由于模型存在偏差，鲁棒性有时很差，可进行H∞最优控制。 H∞优化问题的状态空间描述： 1、矩阵的范数 传递函数矩阵G(s)，假设其各项在s右半开平面是复变量s的解析函数，且是s的有理实函数，常用的 G(s)范数 矩阵的奇异值 设 是n阶方阵A的第i个特征值， 为n阶方阵A的第i个奇异值 式中AH为矩阵A的共轭转置矩阵 任一矩阵A均可进行奇异值分解，即 奇异值为非负实数，记 最大和最小奇异值 二、 H∞控制问题描述 1、标准H∞控制问题 线性时不变系统 通过反馈使闭环系统内部稳定，并且H∞范数严格小于某一预先给定值或为极小。 u-n维控制信号 w-l维外部输入 y-m维量测输出 z-p维控制输出 标准 框架 G K y Z w u 2、三个问题 （1）跟踪问题 C1 W r v w u P C2 跟踪问题中，P和W已知，C1和C2有待设计 目标函数 该目标函数等于 的H2范数，其中ρ0为加权因子。目标函数可化为下式的极小化问题 追踪误差最小