西安交大西工大 考研备考 20XX《工数(二)》期末考试题（A卷）.doc

20XX级《工数(二)》期末考试题（A卷） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 15 15 20 10 10 5 5 10 10 得分 一．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．若，则 　 A) i B) C) D) 2．下述命题正确的是 A) 如果存在，则在点必解析； B) 每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上皆收敛； C) 若函数在区域D内解析且恒取实值，则在D内是常数； D) 每一个幂级数都收敛于一个解析函数。 3.函数在点处连续的充要条件是 A) 在处连续； B) 在处连续； C) 和在处连续； D) 在处连续； 4．设在单连通区域G内处处解析且不为零，C为G内任意一条闭曲线，则 A）等于 B）等于－ C）等于0 D）不能确定 5．设，其中为单位阶跃函数，则函数的Laplace变换为 A） B） C） D） 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．的实部为 ，虚部为 。 2. 设，则 。 3．幂级数的收敛半径为 。 4．若函数在正向简单闭曲线C上及C内解析，为C内任一点，n为正整数，则积分 。 5．设是单位脉冲函数，则 。 三．求下列积分(本大题共4小题，每小题5分，总计20分) 1. 2. 3. 4. 四（10分）．设函数，问常数取何值时，在复平面内处处解析。 五（10分）．设f(z)与g(z)在区域D内处处解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D，如果在C上所有点都成立，求证在C的内部所有点处也成立。 六（5分）．已知，求的Laplace变换。 七（5分）．求函数在处的泰勒展开式，并指出收敛半径。 八（10分）．将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数。 九（10分）．（用Laplace变换的方法）求方程满足初始条件的解。 附：1、 2、若，则 工数二期末试题A卷答案 一、BCDAB 二、1、；　　2、；　　　3、；　　　　　 4、；　　　　5、。 三、1、被积函数的两个奇点，均在之外，利用柯西—古萨定理即知积分值为零。　　 2、当时，被积函数的奇点在之外，由柯西—古萨定理知积分值为零，而当时奇点在内，由高阶导数的柯西积分公式得 3、；　　　　　 4、令，则，，于是 　　　　 5、 两边取虚部 四、因， ，， ，， 一阶偏导在处连续（由此易知可微），而且满足柯西—黎曼方程，，，所以在处是解析的。但与在点都不连续（因为不存在），从而在处不连续也不解析。故的解析区域为复平面除去原点，而且 五、由柯西—黎曼方程得 由式(1)得代入式(2)后，，所以 又，即 六解：　 1) 在内，， ， 因此，有 2) 在内， 因此，有 七、1、一般项不趋于0（当时）（因为对所的n成立），所以级数发散。 2、一般项，其公比的模，所以绝对收敛，因而也收敛。 3)为条件收敛，故原级数非绝对收敛； 4) 一般项，而， 为收敛的交错级数，所以收敛。但，而发散，故原级数条件收敛； 八、函数为连续的偶函数，其傅氏变换为  再由傅氏积分公式得 即 九、方程组中每个方程的两边取拉氏变换，并设，，得 整理得 解之得 对每个像函数拉氏逆变换，可得