概率论与数理统计(复旦大学出版社)南京财经大学朱玲妹老师的.ppt

时,所获利润期望值最大. 当θ=10 000, m = 500元, n = 2000元时, 生产2231件产品时,使获利润期望值最大. * * §1 数 学 期 望 返回目录 数学期望是指用概率分布算得的一种加权平均. 例 分赌本的问题 1654年George Brossion 赌输了钱,找Blaise Pascal 甲,乙两个赌徒相约用掷硬币赌钱,谁先赢三次得全部赌本100法郎,当甲赢了两次,乙赢了一次,不再赌下去了,如何分赌本? 再玩二次结束这次赌博. 四种结果是等可能的,甲赢法郎数为X 甲期望得到 定义 设离散型随机变量 X 的分布律 级数的和与各项的次序无关; 如 绝对收敛, 则称级数 的和为X 的数学期望,记作E (X). 1* 也称为X 的均值或分布的均值; 则 绝对收敛, 2* 级数 收敛, 2* 几何意义:平面图形重心的横坐标. 3* 不是绝对收敛, 发散, 称 X 的数学期望不存在; 4* 概率是权. 如 绝对收敛,则称X 的数学期望存在, 称 为X 的数学期望,记作E (X) 例1 离散型随机变量 X 的分布律为： 求 E(X) 例2 X ~π(λ) ,求E (X) 解: X 的分布律 例3 随机变量X 的分布律 求证E (X)不存在. 发散,∴E (X)不存在. 证明: 例4 已知 求a 和 b 的值. 解: 例5 X ~ U (a,b) , 求E (X) 解: X 的密度函数是 例6 设有5个相互独立的元件,其寿命服从参数为θ的指数分布,其概率密度为： (1) 将这5个元件组成一个串联系统,求该系统的平均寿命； (2) 将这5个元件组成一个并联系统,求该系统的平均寿命. 解：Xk 表示第 k 个元件的寿命， 相互独立,同服从参数为θ的指数分布. (1) 记 Y 为串联系统的寿命, (2) 记 Z 为并联系统的寿命， 例7 某电子元件的使用寿命为X 若规定使用在500小时以下为废品,产值为0元; 在500 ~ 1000小时为次品,产值为10元; 在1000 ~ 1500小时为二等品,产值为30元; 在1500小时以上为一等品,产值为40元; 求平均产值. 解: 设产值为Y, Y 的取值为0,10,30,40, 定理 设 Y 是随机变量 X 的函数, Y = g(x) ( g 是连续函数). 若 绝对收敛,则 Y 的数学期望存在, 若 绝对收敛,则 Y 的数学期望存在, 证明: 定理的重要意义: 求E(Y) 时,不必知道Y 的分布,只要知道 X 的分布就可以了. 例8 设随机变量X 的分布律为 例9 风速V 在 ( 0, a ) 上服从均匀分布,概率密度是 设机翼上受到的压力W 是V 的函数, 求W 的数学期望. 推广 设 Z 是二维随机变量( X,Y )的函数, ( g 是二元连续函数). 1. d.r.v (X,Y) 的分布律为: 若 绝对收敛,则 Z 的数学期望存在, 2. c.r.v (X,Y) ~ 若 绝对收敛,则 Z 的数学期望存在, 例10 设X ,Y 的联合分布律为 解: 例11 设 二维随机变量(X,Y) 的概率密度为 求 Z 的数学期望. 数学期望的重要性质 1. C 是常数， 2. C 是常数，X 是随机变量， 3. X,Y 是任意两个随机变量， 证： 推广： 证： 推广: X1, X2,…, Xn相互独立 4. X 与Y 相互独立,则 例12 民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出,乘客有10个车站可以下车,如到达一个车站无乘客下车就不停车,假设每位乘客在各个车站下车是等可能的,且乘客之间在哪一个站下车相互独立.以 X 表示停车的次数,求平均停车次数E (X). 解：设 例13 设 X,Y 相互独立,分别服从参数为α,β的指数分布. 解： X,Y 相互独立， 试求 例14 某公司为开发一种新产品市场需要确定产量,他们估计出售一件产品可获利 m 元,而积压一件产品导致 n 元损失.他们预计销售量 Y (件)服从指数分布,其概率密度是 为使获利润期望值最大,应该生产多少件产品? 解：设产量为 x 件, 则利润