概率论和数理统计复旦大学课后题答案[].doc

7习题七 1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计. 【解】因此np= 所以p的矩估计量 2.设总体X的密度函数 f（x,θ）= X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】 令E(X)=A1=,因此= 所以θ的矩估计量为 3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计. （1） f（x，θ）= （2） f（x，θ）= 【解】（1） 似然函数 由知 所以θ的极大似然估计量为. (2) 似然函数,i=1,2,…,n. 由知 所以θ的极大似然估计量为 4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收益率 0.01 -0.11 -0.12 -0.09 -0.13 -0.3 0.1 -0.09 -0.1 -0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 由知,即有 于是 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ,令，则 且, 所以θ的矩估计值为且是一个无偏估计. (2) 似然函数,i=1,2,…,8. 显然L=L(θ)↓(θ0)，那么时，L=L(θ)最大, 所以θ的极大似然估计值=0.9. 因为E()=E()≠θ,所以=不是θ的无偏计. 6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2， =k,问k为何值时为σ2的无偏估计. 【解】令 i=1,2,…,n-1, 则 于是 那么当,即时, 有 7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本 试证都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1） , 所以均是μ的无偏估计量. (2) 8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下： 14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05, , μ的置信度为0.95的置信区间为 . 9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？ 【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为, 于是置信区间长度为, 那么由≤L,得n≥ 10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】 (1) μ的置信度为0.95的置信区间 (2)的置信度为0.95的置信区间 11.设总体X~f(x)= X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】(1) 又 故 所以θ的矩估计量 (2) 似然函数 . 取对数 所以θ的极大似然估计量为 12.设总体X~f(x)= X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本 （1） 求θ的矩估计量； （2） 求. 【解】(1) 令 所以θ的矩估计量 (2)， 又 于是 , 所以 13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为 f(x,θ)= 其中θ(θ0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值. 由 那么当 所以θ的极大似然估计量 14. 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P θ2 2θ(1-θ)