药学高数(中值定理洛必达法则).ppt

第四节 中值定理 洛必达法则 一、中值定理 二、洛必达法则 一、中值定理 定理2-1 （罗尔 ( Rolle ) 中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b]上连续，在开区间 (a , b) 内可导，且 f (a)=f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少 存在一点 ? (a?b), 使得 f?(? )=0 成立。 证明 （1）若函数 f (x) 在 闭区间 [a , b]上为常数， 则 f?(x)=0 ，因而， (a , b) 内 任何一点都可取作 ?。 （2）若函数 f (x) 在 [a , b] 上 不是常数, 必存在最大值 M 和 最小值 m，且 M 与 m 至少有一个不等于 f (a) 。 不妨设 M≠f (a), 则在 (a, b) 内至少存在一点 ? ,使得 f (?)=M 。由于?∈(a, b), 故 f?(?) 存在。 而 f (?)=M，所以，当 ?x 足够小时，f (?+?x) - f(?)≤0, 若 若 二者又相等，所以 f?(? )=0 成立。 罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y =f (x) 除 端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且 在两个端点处的纵坐标相等（即 f (a)=f (b)），则在该 段曲线上至少有一点 (?, f (? )) 的切线与 x 轴平行。 例2-26 已知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求导，判断方 程 f? (x)=0 的实根个数和范围。 解 f (x)的连续性和可导性是明显的，且 f (1) = f (2)= f (3) =0，故在区间[1，2]、[2，3]上均满足罗尔中值定 理的条件，则在（1，2）内至少存在一点?1，使得 f? (? 1)=0；在（2，3）内至少存在一点?2 ，使得 f? (? 2)=0。而 f? (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实 根，分别在开区间（1，2）、（2，3）内。 定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b] 上连续，在开区间 (a , b) 内可导，则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 ? (a?b), 使下面等式成立。 或 f (b) - f (a)=f? (?)(b-a) 证明 构造辅助函数 则 且 F (a)=F (b)=0 所以函数 F (x) 在闭区间 [a , b] 上满足罗尔中值定理 的条件, 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 ? , 使得 即 拉格朗日中值定理的几何意义： 一段连续曲线 y =f (x) 除 端点外，处处有不垂直于x 轴 的切线，则在该段曲线上至少 有一点 (?, f (? )) 的切线， 与曲线端点的连线平行。 推论2-3 如果函数 f (x) 在开区间 (a , b) 内的导数恒 等于零, 则函数在开区间 (a , b) 内为常数。 证明 任取 x1、x2∈(a, b), 则 f (x)在闭区间 [x1, x2] 上 满足拉格朗日定理条件, 在（x1, x2）内至少存在一点 ? , 使得 由于 f? (? )=0，即 f (x2) - f (x1) =0， f (x2)= f (x1) 所以函数在开区间 (a , b) 内为常数。 推论2-4 如果函数 f (x)、g(x) 在开区间 (a, b) 内恒有 f? (x) = g?(x) , 则在(a, b) 内 f (x)、g(x) 相差一个常数， 即 f (x)= g(x) +C，其中 C 为常数。 例2-27 求证不等式 ? sin x - sin y ?≤? x - y ? 。 证明 建立函数 z =sin t 。函数 z =sin t 在区间 [x , y ] （不妨设x ≤ y ）上满足拉格朗日中值定理的条件， 则在 ( x , y ) 内至少存在一点 ? ，使得 所以 即 ? sin x - sin y ?≤? x - y ? 定理2-3 （柯西 ( Cauchy ) 中值定理） 如果