经济数学微积分续集.ppt

一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 二、条件极值 四、小结 解： 解 在条件 拉格朗日乘数法的推广 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 思考题 思考题解答 练 习 题 经 济 数 学 下页 返回 上页 一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值 拉格朗日乘数法 四、小结 思考题 第六节 多元函数的极值 及其求法 某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地品牌的每瓶卖 元，外地品牌的每瓶卖 元，则每天可卖出 本地品牌的果汁 瓶，外地品牌的果汁 瓶. 问题的提出 问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大利润？ 每天的利润为 求最大利润即为求二元函数的最大值. 问题的分析 本节我们讨论与多元函数的最值有关的最简单的优化问题. 播放 1.二元函数极值(extreme value)定义 极大值 极小值 极值 极值点 (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ 2.二元函数取得极值的条件 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 可微函数的极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点. 例2 解 再求二阶偏导数 例3 解 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法： 解 如图, 例6 生产A、B两种商品， A商品的售价为1000元 /件，B商品的售价为900元 /件，生产x件A商品和y件B商品的总成本为40000+200x+300y+3x2 +xy+3y2 元。问：A、B商品生产多少时，利润最大？ 练习： 解 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值。 例如，求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题是条件极值问题。 设长方体的三棱的长为x，y，z，则上述问题是求函数V?xyz在条件2(xy?yz?xz)?a 2下的最大值。 上述问题也可以化为求函数 的最大值问题，这是无条件极值问题。 一般来说，将条件极值化为无条件极值并不容易。 条件极值： 下页 问题： 其中 (x0, y0)是函数f(x, y)在条件j(x, y)=0下可能的极值点。 求函数z=f(x, y)在约束条件j(x, y)=0下的极值。 第一步，作辅助函数 L(x, y,l)=f(x, y)+lj(x, y)， 其中l称为拉格朗日乘数, L(x, y,l)称为拉格朗日函数。 第二步，求L(x, y,l)可能的极值点。解方程组 拉格朗日乘数法： 下页 拉格朗日乘数法： 第三步，判别(x0, y0)是否是极值点。一般地可以由 具体问题的性质进行判别。若不能则用如下方法： 只含dx的表达式 例6 解 例6 解 * * * *