多元函数的微分学及其应用.doc

教 学 内 容 批注 第八章 多元函数微分 第一节 多元函数的基本概念 平面区域 首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识： 邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即，称为P0点的邻域，记做：，简记； 内点：在平面点集，存在P0的一个邻域，使得，则称P0为的内点； 开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集； 边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点P为点集的边界点。 注意：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。 连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。 有界无界区域：对于平面点集，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使，则称为有界区域，否则称为无界区域。 教 学 内 容 批注 聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。 注意：平面点集中点的关系如图, 其中： 二元函数的极限和连续性 1.二元函数 定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。 教 学 内 容 批注 注意:1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n≥1）； 2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称为多值函数。如：。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。 3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即中，x，y的取值范围。如：，，其中的定义域就是。其二：我们给定的函数，使得z有确定取值的（x，y）的取值范围。如：，其定义域为：D={(x，y)| }。 4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。 5、两二元函数相等，即定义域相等且起对应法则也必须相等。 例1 求的定义域。 教 学 内 容 批注 解：显然要使得上式有意义。必须满足。 二重极限 定义2：设P0(x0，y0)为函数定义域D的聚点，如果当定义域内任意一点P（P0除外），以任何方式趋近P0时，即：，都有，则称在的P0二重极限为A。 语言表示：，，当时，恒有：，记：。 三、求极限的方法 1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital法则外）对多元函数依旧成立。如：两个重要极限，等价无穷小法则等等。 例2（1）、 （2 ）、 2、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路径L1，L2，使得，但是函数取得的极限却是不同的A，B时，则我们称其函数极限不存在。 教 学 内 容 批注 例3:讨论，在（0，0）处的极限。 解：取不同路径y=kx，当x趋近0时，y趋近0，但方式不同， 显然，当k取值不同是，极限也不相同。 所以我们说函数在（0，0）的极限不存在。 函数的连续性及性质 定义3：设P0是函数定义域D上的聚点，且，如果： ，则称函数在点P0（x0,y0）连续，否则称该点为不连续点。 例：任由上面例题可知，在（0，0）处是不连续的。 教 学 内 容 批注 注意：1、等价定义：函数在点P0（x0,y0）连续 （2）、利用多元函数的连续性来解决极限问题。 例4（1）、求极限 解：∵ ，且 ∴ 原极限=0 性质1、（最大值和最小值）若函数在有界闭区域D上连续，则函数f在D上有界，并且能取得最大值与最小值。 性质2、（介值定理）：设函数在有界闭区域D上连续，若P1（x1，y1），P2（x2，y2）D，且，则对任何满足不等 式的实数k，总存在P0（x0，y0）点，使得。 特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值 教 学 内 容 批注 偏导数 偏导数概念 偏增量： 全增量： 1、定义1：设函数在P0（x0，y0）的某邻域内有定义，。若存在，则称在P0（x0，y0）点关于x的偏导数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。记做：、或者、，即： = 同理：= 偏导(函)数：如果函数在D内的每一点（x，y）都有偏导数，则称、为的两个偏导(函)数。 教 学 内 容 批注 2、偏导数的计算 注意:1、求对