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高等数学下

多元函数微分学及其应用

多元函数的极值(2)

主讲：王秋宝

目录

•多元函数的最值；

•条件极值；

•拉格朗日乘数法；

•内容小结。

多元函数的最值

有界闭区域D上连续函数求最值的一般方法:将函数在D内

所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比

较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.

注在通常遇到的实际问题中,如果根据实际问题的性质,知

道函数的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只

有一个驻点,则该驻点就是函数在D内取得最大值(最小值)的点.

多元函数的最值

2

例1求二元函数zf(x,y)xy(4−x−y)在直线x+y6,

x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.

y

x+y6

D

o

x

条件极值

无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件;

条件极值:对自变量有附加条件的极值.

例如:求在条件x+y

U(x,y)lnx=+lny810200

下的极值点.

方法1将条件极值转化为无条件极值:从条件8x+10y200

−x

200−8x2008

解出代入效果函数,得ψxx=+

y,()lnln.

1010

拉格朗日乘数法Lagrange乘子

拉格朗日乘数法:要求函数zf(x,y)在条件ϕ(x,y)0

下的可能极值点,

(1)构造Lagrange函数L(x,y,λ)f(x,y)=+λϕ(x,y).

(2)令



Lf(x,y)=+λϕ(x,y)0,

xxx

Lf(x,y)=+λϕ(x,y)0,

yyy

Lλϕ(x,y)0.



(3)从上面方程组中解出x,y,λ,其中就是可能的极值点