自动控制宋乐鹏四.ppt

【例4-11】已知单位反馈系统的开环传递函数为 试分析a从0变化的∞时系统的性能。 解：(1) 系统有1个开环零点s=-a，其位置将影响闭环极点分布及系统性能 (2)根据根轨迹方程 有 整理得 所以等效开环传递函数为 (3)可根据前述绘图规则绘出根轨迹。 O σ jω ①有3个极点p1=0，p2=p3=-0.5（二重极点） ②实轴上的根轨迹段是(-∞，0] ③计算可知渐近线和实轴交点在σ=-1/3处，与正实轴的夹角为±60°。 ④分离点利用规则6计算 ⑤根轨迹和虚轴的交点由规则8计算得 【例4-12】已知单位反馈系统的开环传递函数为 试概略画出T从0变化的∞时系统的根轨迹。 解：(1) 本例中以时间常数T为可变参数，根据根轨迹方程得到等效开环传递函数。 整理得 所以等效开环传递函数为 (2)根据分析绘制根轨迹草图 O σ jω ①该传递函数有2个极点和3个零点，分别是 零点多于极点，有3条根轨迹，2条起始于开环极点，1条起始于无穷远处 ②实轴上的根轨迹段是(-∞,-1) ③p1和p2点的出射角为 4.3.2 多参量根轨迹簇 在工程实际中往往遇到结构复杂的多参数系统，为了分析各个参数对整个系统性能的影响，就必须解决多参数控制系统根轨迹绘制的问题。 【例4-13】 已知控制系统的结构如图4.15所示，试绘制局部闭环参数β以及放大器系数K变化时的根轨迹。 解：根据系统结构图，可得其开环传递函数为 (1) 系统的开环极点是 极点要通过 计算 极点随β变化而变化。上式可改写为 可当做根轨迹方程来处理，绘出根轨迹以后，原系统的开环极点就在其根轨迹上。相应的等效开环传递函数为 O σ jω 根据开环传递函数画根轨迹图如图所示。 (2)下面考虑可变参数 K，当β取值确定时可确定极点位置 当β=0时，p1,2=-1±j ； 当β=0.5时，p1,2=-1±j 1.22； 当β=1时，p1,2=-1±j 1.41； 当β=1.5时，p1,2=-1±j 1.58； O σ jω 4.3.3 正反馈系统的根轨迹 通过负反馈调整偏差信号使受控量达到期望值是自动控制系统的一个重要特点。然而，在某些复杂的控制系统中，由于控制对象本身的特征或为满足某种性能要求，可能会出现局部正反馈的结构。另外，在研究非最小相位系统时，可能出现传递函数分子或分母中s最高次幂系数为负的情况。 正反馈控制系统，闭环传递函数为 系统的特征方程为 相应的根轨迹方程为 其幅值条件和相角条件分别为 绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的9条法则中，有3条与相角方程有关的法则，要作出如下相应的修改。 规则4：实轴上的根轨迹段改为：实轴上根轨迹段的右侧实轴上，开环零点和极点数目之和应为偶数(包括0)。 规则5：根轨迹的渐近线在实轴上的截距和根轨迹相同，渐近线的倾角θ改为： 规则7：根轨迹的出射角和入射角： ①离开开环极点时出射角改为 ②进入开环零点时入射角改为 【例4-16】设正反馈系统的开环传递函数为 试概略绘制Kr从0到∞变化时的根轨迹 解：根据正反馈系统根轨迹的相关法则 （1）有一个零点z1=-3，三个极点p1=0，p2,3=-1±j （2）根据修改后的规则4，实轴上的根轨迹段是（-∞，-3）和（0，∞）。 O jω σ （3）根据修改后的规则7在开环复数极点p2处的根轨迹出射角为 （4）求根轨迹在实轴上的分离点，令 整理得 解之得：s1=-4.26，s2,3=-0.62±j0.65（舍去） 所以，分离点出现在s1=-4.26处 O jω σ 【例4-17】设单位反馈系统的开环传递函数为 试概略绘制Kr从0到∞变化时的根轨迹 解：将传递函数改写成零极点的形式 由于增益为负，相当于从负反馈变成正反馈，应该绘制0°根轨迹。 （1）开环传递函数有一个零点z1=1，两个极点p1=0，p2=-2。 （2）实轴上的根轨迹段是（-∞，-2）和（1，∞） O jω σ （3）求分离点 整理得 解之得 （4）求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 解之得 O jω σ 小结： 参量根轨迹可以通过对根轨迹方程的变换得到等效开环传递函数，形式上可能不满足n≥m，也可能有0°根轨迹的形式，但是仍然可以利用根轨迹的9条法则绘制其根轨迹草图。 对于多个可变参量的系统可用根轨迹簇来分析 对于正反馈系统，往往要绘制0°根轨迹，需要对相应的相角条件进行变化。 4.4.1 利用根轨迹确定系统的闭环极点 【例4-18】已知单位反馈系统的开环传递函数为 试应用根轨迹求当Ka=2时的闭环极点，并写出相应的闭环传递函数。 解：将传递函数改写成零极点的形式 系统有3个开环极点s1=0，s2=-2，s3=-5。根轨迹增益Kr=5Ka。 根轨迹的分离点是d=-0.88，相应的根轨迹增益为Krd