高考理科数学一轮复习讲函数的单调性与最值.ppt

第4讲 函数的单调性与最值 1．函数的单调性定义 f(x1)f(x2) 单调增区间 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I?A，如果对于区间 I 内的任意两个值 x1、x2，当 x1x2 时，都有 y＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的 ，那么就说 ； 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1、x2，当 x1x2 时，都有 ，那么就说 y＝f(x)在区间 I 上是单调减函数，I 称为 y＝f(x)的 ． f(x1)f(x2) 单调减区间 2．用导数的语言来讲函数的单调性 设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上 间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上 ，那么 f(x)为区 ，那么 f(x)为区间 I 上的减函数． f′(x)0 f′(x)0 3．函数的最大(小)值 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0∈A，使得对 于任意 x∈A,有 恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大 恒 值；如果存在定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有 成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值． f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) (x∈R)的值域是( 1．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为 ( ) D A．[－4,1] C．[－4,1]∪[0,5] B．[0,5] D．[－2,3] 2．函数 f(x)＝ 1 1＋x 2 ) B A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] ) D 3．函数 y＝x2－6x 的减区间是( A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 4．二次函数 f(x)＝x2＋2ax＋b 在区间(－∞，4)上是减函数， 你能确定的是( ) C A．a≤4 B．a≥－2 C．a≤－4 D．b≤－2 5．已知 f(x)＝ 3x x－3 ，x∈[4,6]．则 f(x)的最大值与最小值分 别为 . 12,6 考点 1 判断函数的单调性 (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范 围． 解析：(1)当 a＝0 时，f(x)＝x2 为偶函数； 当 a≠0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)方法一：设 x2x1≥2， [x1x2(x1＋x2)－a]， ＝ x1－x2 x1x2 由 x2x1≥2 得 x1x2(x1＋x2)16，x1－x20，x1x20. 要使 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需 f(x1)－f(x2)0， 即 x1x2(x1＋x2)－a0 恒成立，则 a≤16. 要使 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 则 a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立， 故当 a≤16 时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 【互动探究】 1．已知 f(x)＝ x x－a (x≠a)． (1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a＞0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围． 则 f(x1)－f(x2)＝ 2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2) . ∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (1)证明：任设 x1＜x2＜－2， (3)y＝ 2 (5)y＝x＋ . (2)解：任设 1＜x1＜x2，则 考点 2 函数的最值与值域 例 2：求下列函数的值域： (1)y＝ 3x＋2 x－2 ； (2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)； x2－x x －x＋1 ； (4)y＝x＋ 2x－1； 4 x x －x＋1 ≠0，∴y≠3. 解题思路：关于 x 的一次分式函数，这种题目可通过求关 于 x 的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变 形(分离常量)，观察得出结果； 有理分式函数，去分母化成关 于 x 的二次方程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成 A ＋ B 2 (A、B 是常数)的形式来求值域；用换元法将无理函 数化为有理函数或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别 式求函数的值域． 解析：(1)方法一：y＝ 3x＋2 x－2 ＝ (3x－6)＋8 ＝3＋ x－2 8 x－2 ， 由于 8 x－2 (3)方法一：y＝ 2 ＝1－ 2 x －x＋1 ∴函数 y＝ 3x＋2 x－2 的值域是{y|y∈R 且 y≠3}． 3x＋2 方法二：由 y＝ ，得 x＝ x－2 2(y＋1) y－3 ，∴y≠3. (2)∵y＝－