6—3实对称矩阵的相似对角化.ppt
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实对称矩阵的相似对角化.ppt
实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：01性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。02两端取转置，得：03性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。04对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。05实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化：由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。再单位化，得：用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：*
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3实对称矩阵的相似对角化.docx
3实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它在数学和物理中有着广泛的应用。一个重要的性质是，任何实对称矩阵都可以通过相似变换对角化。这意味着我们可以找到一个可逆矩阵，使得它与原矩阵相乘后，结果是一个对角矩阵。对角矩阵的主对角线上的元素是原矩阵的特征值，而特征值与矩阵的性质密切相关。
3.1实对称矩阵的定义
$A$是实数矩阵，即其所有元素都是实数。
$A$等于其转置矩阵，即$A=A^T$。
$$
A=\begin{pmatrix}123\\245\\356\end{pmatrix}
$$
3.2实对称矩阵的特征值
实对称矩阵的特征值是其特征多项式的根。特征多项式是一个关于$\lamb
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5-4实对称矩阵的相似对角化.ppt
信息系 刘康泽 中南财经政法大学刘康泽 第 5-4 节 实对称矩阵的相似对角化
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5—4实对称矩阵的相似对角化.ppt
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4.4实对称矩阵的相似对角化.pptx
4.4实对称矩阵的相似对角化
主要内容0102实对称矩阵特征值与特征向量实对称矩阵的相似对角化
一.实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值为实数.性质1?一.实对称矩阵的特征值与特征向量
?一.实对称矩阵的特征值与特征向量
?一.实对称矩阵的特征值与特征向量
??一.实对称矩阵的特征值与特征向量
二.实对称矩阵的相似对角化
??二.实对称矩阵的相似对角化定理推论
?二.实对称矩阵的相似对角化
?二.实对称矩阵的相似对角化
例1解??二.实对称矩阵的相似对角化
?二.实对称矩阵的相似对角化?
?二.实对称矩阵的相似对角化?
?二.实对称矩阵的相似对角化?
例2解??二.实对称矩阵的相似
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4.4实对称矩阵的相似对角化.pdf
西京学院《线性代数》课程教案
教案首页
知识
第4章,第4节教学题目实对称矩阵的相似对角化
单元
教学环境设计与课堂教学主要以板书为主；介绍实对称矩阵的特征值与特征向量，
组织安排实对称矩阵的相似对角化问题。
知识目标实对称矩阵的相似对角化
教学
目标能力目标数学的思考问题的方式，类比能力
及达实事求是，严谨认真
成度价值目标
“过程与结果”的辨证关系
教学重点：实对称矩阵的相似对角化
重点
难点难点：实对称矩阵相似对角化的方法
教学
方法
理论讲授+板书
手段
媒介
1、讲评——实对称矩阵的特征值与特征向
教学
组织2、互动——实对称矩阵的相似对角化
方式
3、讲解——实对称矩阵的相似对角化
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十九5—3、4相似矩阵对称矩阵的对角化.ppt
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线代相似矩阵及对称矩阵的对角化.ppt
因为 x ? 0 , 所以 故 即 这说明 ? 是实数. 证毕 及 两式相减,得 础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量. 显然, 当特征值 ? 为实数时, 齐次线性方程组 (A - ?E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - ?E | = 0 知必有实的基 定理 6 设 ?1 , ?2 是对称矩阵 A 的两个特 征值, p1 , p2 是对应的特征向量, 若 ?1 ? ?2 , 则 p1 , p2 正交. 由已知有 ?1p1 = Ap1 , ?2p2 = Ap2 , ?1 ? ?2 . 因 A 对称, 故 ?1p1T = (?1
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相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt
第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解 第一步 求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1
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高等代数实对称矩阵的相似对角化.ppt
* * 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P， 使 为对角阵. 解： * * 于是得正交阵 * 例 求 a , b 的值与正交矩阵 C , 使 解 { * * * 例 实对称矩阵 A 与 B 相似 证 * 四、本章综合例题 例 设 n 阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是 a , 求 A 的一个特征值与特征向量 . 解 * * 例 解 * * 例 设 A 是 3 阶矩阵, A－１的特征值是 1, 2, 3 , 解 * 例 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3, A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 ： 解 * 作业：
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十九 5-3、4相似矩,对称矩阵的对角化十九 5-3、4相似矩阵,对称矩阵的对角化.ppt
第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 第四节 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 三、小结 作业 P138—16,17,18 于是得正交阵 解 第一步 求A的特征值．由 1. 等价关系 推论 若 阶方阵A与对角阵 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 例1
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13第13次课相似矩阵与方阵的对角化实对称矩阵的对角化.ppt
第十三次课;§5.3相似矩阵与方阵的对角化;性质1： ;二、方阵的相似对角化;3.方阵A相似对角化的步骤;4、若;例1;解;当;例2;§5.4 实对称矩阵的对角化;二、实对称矩阵的正交相似对角化;2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤;例1;解;当;例2;小 结;实对称矩阵的性质;提前预习
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相似矩阵及对称矩阵对角化定义1设AB都是n阶矩阵若有可逆矩阵.PPT
相似矩阵及对称矩阵对角化 四、对称矩阵对角化 * * * 定义1：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P ?1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P ?1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 一、基本概念 定义2：对于n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P 使得 为对角矩阵，称矩阵A可对角化。 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相
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矩阵的相似对角化.ppt
《线性代数》下页结束返回《线性代数》下页结束返回第2节相似矩阵与矩阵的相似对角化一、相似矩阵及其性质二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页2.1相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.例如，5-131A=0-240B=，，1-511P=，因为1-511-11-5-116=-—P-1AP5-1311-5112-2-20-416=-—012-240=-—160-240=，所以A~B.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~C，则A~C下页定理1如果矩阵A与B相似，则
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5﹒2矩阵相似对角化.ppt