专题2.4 以极值为背景的解答题-2018年高考数学备考优生百日闯关系列（江苏专版）（解析版）.doc

专题 压轴解答题 【名师综述】不同于零点，极值点不仅导数值为零（只研究）而且在其附近导数值要变号以极值为背景的解答题，不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系，这也是分类讨论的一个常见的载体函数极值单调区间最值已知函数，其中为常数. （1）若，求函数的极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若，设函数在上的极值点为，求证： . 【答案】(1)当时， 的极大值为，无极小值；(2) ；(3)证明见解析. 【解析】 极大值 当时， 的极大值为，无极小值. （2），由题意对恒成立. ， ， 对恒成立， 对恒成立. 令， ，则， ①若，即，则对恒成立， 在上单调递减， 则， ， 与矛盾，舍去； ②若，即，令，得， 当时， ， 单调递减， 当时， ， 单调递增， 当时， ， .综上. （3）当时， ， ， 令， ， 则 ，令，得， ①当时， ， 单调递减， ， 恒成立， 单调递减，且. ②当时， ， 单调递增， 又 ， 存在唯一，使得， ， 当时， ， 单调递增， 当时， ， 单调递减，且， 由①和②可知， 在单调递增，在上单调递减， 当时， 取极大值. ， ， ， 又， ， . 导函数为研究对象，实质研究方程的根与的已知函数 ⑴当时，求函数的极值； ⑵若存在与函数 的图象都相切的直线，求实数的取值范围． 【答案】1）当时，函数取得极小值为，无极大值；2） 【解析】 所以 所以当时， ，当时， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 所以当时，函数取得极小值为，无极大值； 2）设函数上点与函数上点处切线相同， 则 所以 所以，代入得： 设，则 不妨设则当时， ，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 代入可得： 设，则对恒成立， 所以在区间上单调递增，又 所以当时，即当时, 又当时 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立； 即存在使得函数上点与函数上点处切线相同． 又由得： 所以单调递减，因此 所以实数的取值范围是 类型二 由极值确定参数取值范围已知函数（是自然对数的底数） （1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； （3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）3）或. 【解析】 2）设， 当单调递增时， 则在上恒成立， ∴ 在上恒成立， 又 解得． 当单调递减时， 则在上恒成立， ∴在上恒成立， 综上单调时的取值范围为 （3）， 令则， 当时， ， 单调递增， ∴，即. 1）当，即时， ∴， 则单调递增， 在上无极值点 2）当即时， ∴ I）当，即时， 在递增， 在上递增， 在上无极值点 II）当时，由 在递减， 递增， 又 使得 在上单调递减，在上单调递增， 在上有一个极小值点 3）当时， 在上单调递减，在上单调递增，[来源:Zxxk.Com] 又 在上恒成立， 无极值点 4）当时， 在递增， 使得 当时， 当时， ， ， 令， 下面证明，即证， 又 ， 即证，所以结论成立，即 在递减， 递增， 为的极小值. 综上当或时， 在上有极值点 【名师指点】由极值的情况，探讨导函数零点的情况，进而研究方程根的分布情况已知函数恰有两个极值点，且. （1）求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 当时， ； 当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 当时， ， 所以 ∴ 解得， 故实数的取值范围是. （2）由（1）得， ， ，两式相加得 ， 故 两式相减可得， 故 所以等价于， 所以 所以， 即， 所以， 因为，令，所以 即，令， 则在上恒成立， ， 令， ①当时， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以符合题意 ②当时， 所以在上单调递增 故在上单调递减， 所以不符合题意； ③当时， 所以在上单调递增， 所以所以在上单调递减， 故不符合题意 综上所述，实数的取值范围是. 类型三 利用极值证明不等式 （1）当时，求的单调区间； （2）令，区间， 为自然对数的底数。 （ⅰ）若函数在区间上有两个极值，求实数的取值范围； （ⅱ）设函数在区间上的两个极值分别为和， 求证： . 【答案】（1）增区间，减区间，（2）详见解析 【解析】 （2）（ⅰ）因为 ， 所以 ， ， 若函数 在区间D上有两个极值，等价于 在 上有两个不同的零点， 令 ，得 ， 设 ，令 大于0 0 小于0 0 增 减 所以 的范围为