专题2.3 以函数零点为背景的解答题-2018年高考数学备考优生百日闯关系列（江苏专版）（解析版）.doc

专题二 压轴解答题 第三关 以函数零点为背景的解答题 【名师综述】以函数零点为背景的解答题主要考察函数与方程思想,不仅要研究单调性,确定至多一解,而且要考虑零点存在定理,确定至少有一解,从两方面确保解的个数的充要性. 类型一 零点个数问题 典例1 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）试求的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）（2）当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点． 【解析】 当时， ， 递增；当时， 递减； 所以，当时， 取极大值，也是最大值，即， ， 所以， 在上的值域为. （2）令，得， 显然不是方程的根， 那么原方程等价于实根的个数，令， 原命题也等价于在上的零点个数； 又因为，所以在和上都是单调递增的； （I）若，则 当时， 恒成立，则没有零点； 当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。 （II）若，则 当时， 恒成立，则没有零点； 当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点 （III）若，则 当时，由 ，则， 则取，则，又，所以在有唯一的零点， 当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点 综上所述，当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点． 【名师指点】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 【举一反三】已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 【答案】当时, 函数有一零点； 当()，或（）时，函数有两个零点； 当时，函数有一零点. 【解析】 由()，得 [来源:学科网] 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解， 若，，函数有两个零点，即 ；若，，函数有两个零点，即； 类型二 由零点个数确定参数取值范围问题 典例2 已知，且，函数，其中为自然对数的底数： （1）如果函数为偶函数，求实数的值，并求此时函数的最小值； （2）对满足，且的任意实数，证明函数的图像经过唯一的定点； （3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） 的最小值为2（2）见解析（3），或 【解析】 又，当且仅当时取等号， ∴的最小值为2. （2）假设过定点，则对任意，且恒成立. 令得： ；令得： ， ∴， ，解得唯一解 ∴ 经检验当时， ∴函数的图像经过唯一定点. （3）令为上连续函数，且，则方程存在一个解. 当时， 为增函数，此时只有一解. 当时，令 ，解得. 因为， ， ，令 ， 为增函数. 学科~网 所以当时， ，所以， 为减函数； 当时， ，所以， 为增函数. 所以，又定义域为，所以. ①若， 在上为减函数， ，而. 所以时， 至少存在另外一个零点，矛盾！ ②若， 在上为增函数， ，而，所以在存在另外一个解，矛盾！ ③当，则，解得，此时方程为， 由（1）得，只有唯一解，满足条件 综上，当，或时，方程有且只有一个解. 【名师指点】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【举一反三】设函数（其中为自然对数的底数，），曲线在点处的切线方程为. （1）求； （2）若对任意，有且只有两个零点，求的取值范围.[来源:Z,xx,k.Com] 【答案】（1）；（2）实数的取值范围为. 【解析】 （2）由（1）得，， ①当时，由得，由得，此时在上单调递减，在上单调递增，∵， （或当时，亦可）∴要使得在上有且只有两个零点， 则只需，即， 6分 ②当时，由得或；由得.此时在上单调递减，在和上单调递增， 此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意， 9分 ③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 12分 类型三 由零点条件证明不等式问题 典例3 已知函数， . (1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程. (2)若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。 ①求实数a的取值范围； ②证明： . 【答案】（1）或.（2）①②见解析 【解析】 所以该切线方程为， 因为该切线经过， 所以，解得， 所以切线方程为或. 解法二 由题意得曲线的切线的斜率一定存在， 设所求的切线方程为， 由 ，得， 因为切线与抛物线相切， 所以，解得，