专题2.1 以解析几何中定点、定值为背景的解答题-2018年高考数学备考优生百日闯关系列（江苏专版）（解析版）.doc

专题 压轴解答题 【名师综述】定值、定点、定线如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点. （1）求椭圆的方程； （2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程； （3）设直线与轴分别交于，证明： 为定值. 【答案】（1）（2）（3）见解析 【解析】 （2）设，则，且.① ∵以为直径的圆过点 ∴ ∴， 又∵， ∴.② 由①②解得： ，或（舍） ∴.[来源:学科网ZXXK] 又∵圆的圆心为的中点，半径为， ∴圆的标准方程为. （3）设，则的方程为，若不存在，显然不符合条件. 令得；同理， ∴ 为定值.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若，求的值； ⑶设直线 的斜率分别为 ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】1）（2） （3） 【解析】 （2）若，由椭圆对称性，知，所以 此时直线方程为 由，得，解得舍去）， 故 （3）设，则 直线的方程为，代入椭圆方程，得 ， 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标 又在直线上，所以 同理， 点坐标为 ， 所以 即存在，使得 类型二 定点问题 典例2 已知椭圆的左右焦点分别为 ， 为椭圆的上顶点 为等边三角形且其面积为 为椭圆的右顶点. （Ⅰ）求椭圆的方程 （Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点不是左右顶点），且满足，试问直线是否过定点若过定点求出该定点的坐标否则说明理由. 【答案】(Ⅰ) ；）直线过定点，定点坐标为. 【解析】 ）设 ， 联立得 又 因为椭圆的右顶点为 ∴，即 ∴， ∴， ∴． 解得： ，且均满足 当时， 的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时， 的方程为，直线过定点 所以，直线过定点，定点坐标为 已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由. 【答案】(1) 曲线的方程为 ;(2)见解析. 【解析】 （Ⅱ）由已知直线过点， 设的方程为，则联立方程组， 消去得 , 设，则， 直线与斜率分别为 ， ， . 当时， ；当时， . 所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值. 已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点 （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 点在定直线上 【解析】 ， 解得 椭圆的方程为 （2）方法一 当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点 ，则直线和直线，联立，解得 当点为椭圆的下顶点时，由对称性知： . 猜想点在直线上，证明如下： 由条件可得直线的斜率存在， 设直线 联立方程 消得： 有两个不等的实根， 设，则 则直线与直线 联立两直线方程得（其中为点横坐标） 将代入上述方程中可得 即 即证 将代入上式可得 ，此式成立 ∴点在定直线上. 方法二 由条件可得直线的斜率存在， 设直线 联立方程 消得： 有两个不等的实根， 设，则 ， 由 ， 三点共线，有： 由 ， 三点共线，有： 上两式相比得 解得 ∴点在定直线上． 【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算[来源:Z#xx#k.Com]如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为. 【解析】 从而，由得，因此. 所以，故 因此，所求椭圆的标准方程为： 【精选名校模拟】 1．在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点 （在轴上方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为2（如图1. （1）求椭圆的方程； 2）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为. ①求证：直线的斜率为定值； ②设直线与椭圆相交于两点 （在轴上方），点为椭圆上异于 ， ， 一点，直线交于点 交于点，如图2，求证： 为定值. 【答案】1） (2) ①② 【解析】 (2)设平行的直线的方程为，且 ① 联立，得到 所以 ； 故，直线的斜率为（定值