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实验三快速傅立叶变换及其应用

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一.实验平台

二.实验目的：

(1)在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的

有关函数。

(2)应用FFT对典型信号进行频谱分析。

(3)了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确

应用FFT。

(4)应用FFT实现序列的线性卷积和相关。

三.实验原理：

(1)混叠：采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实

的反映原采样信号的频谱。

(2)泄露：根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了分散的扩展谱线的现象，称

之为频谱泄露或功率泄露。

(3)栅栏效应：DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频

谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

(4)圆周卷积：把序列X(N)分布在N等份的圆周上，而序列Y(N)经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。两圆上对应的数两量两相乘求和，

就得到全部卷积序列。这个卷积过程称做圆周卷积。

(5)互相关函数反映了两个序列X(N)和Y(N)的相似程度，用FFT可以很快

的计算互相关函数。

四.实验内容：

实验中用到的函数序列：

(a)Gaussian序列

(b)衰减正弦序列

(c)三角波序列

(d)反三角波序列

五.上机实验内容：

1.观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8,改变q的值，使q分别等于2,4,8,观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性影响；改变p,使p分别等于8,13,14,观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄

漏现象，混叠是否也随之出现?记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列

和幅频特性曲线。

程序：n=0:15;

xa=exp(-(n-p).^2/q);

subplot(2,1,1);

plot(n,xa);

ya=fft(xa);

ya=abs(ya);

subplot(2,1,2);

stem(n,ya);

①p=8,q=2(注：上面是时域，下面是频域)

②P=8,q=4

③P=8,q=8

④P=13,q=8

⑤P=14,q=8

结论：

X(n)中的参数p为高斯序列的峰值位置，q则表示高斯序列峰的尖锐度，(即峰值边沿的陡峭度)。q值越大，时域图中图象越平缓，序列变化越慢；其幅频特性图中高频分量越少，频谱越窄，越不容易产生混叠。p值越大，序列右移，在规定的窗口内有效值被截断的越多。因为窗口截断会造成窗口泄露，所以我们可以在幅频特性图中看到，随着p值的变大，

高频分量会增加。易出现泄露，当p=13时，特别是p=14时，产生了明显的泄露与混叠。

2.观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f,使f分别等于0.4375和0.5625,观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混叠和泄漏现象?说明产生

现象的原因。

程序：

n=0:15;a=0.1;

xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);

subplot(2,1,1);plot(n,xb);

yb=fft(xb);yb=abs(yb);

subplot(2,1,2);stem(n,yb);

①f=0.0625;

②f=0.4375;

③f=0.5625

结论：

该实验中f=F/f;(F—固有频率fs—采样频率，统一做归一化处理f?=1)

图中的幅频特性图：当f=0.0625时，没有产生明显的混叠和泄露；当f=0.4375和f=0.5625

时，产生了混叠，是因为不满足奈奎斯特采样定理的缘故；

图中后两个序列的时域图：因为0.4375+0.5625=1,满足如下等式(此情况只适用于正

弦