数字信号处理和信号与系统（薛云）第3章3.1-3.4 离散傅立叶变换-新-恢复过.ppt

第3章 离散傅立叶变换 DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 循环卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样 FFT 　 　 　 　 有限长序列的傅里叶分析 2. 连续时间非周期信号 3. 离散非周期信号 4. 周期为N 的离散周期信号 　 　 离散傅里叶级数（DFS） 则DFS变换对可写为 　　 　 离散傅里叶变换（DFT） 频域上的主值区间与主值序列： 　 　 　 　 ＤＦＴ与序列傅立叶变换ＤＴＦＴ的关系 离散傅里叶变换的性质 分3步计算： （1）将 延拓成周期为N的周期序列 （2）将 移位得 或 ； （3）对 取主值得 这个过程如图3.5所示。 DFT时域循环移位特性 3. 对称性(symmetry) 证明 因为 为实数序列，所以有 证毕。 利用式（3.26）可以方便地由一个复序列的DFT求得两个实序列的DFT。设有长度均为N的两个实序列 和 ，它们的N点DFT分别为 。用 和 构成 复序列 ： （3.28） 求 的DFT （3.29） 利用式（3.29）表示的 W(k)和相应的W*(N-k) 由式（3.26）和式（3.27）即可得出 （3.32） 证毕 　 三种卷积的联系和区别： １．线性卷积 ２．周期卷积 ３．循环卷积 具体来说，循环卷积与周期卷积没有本质区别，循环卷积可被看作是周期卷积的主值；但是它们又有明显的不同。循环卷积的计算是在主值区间中进行的，而线性卷积不受这个限制。 上节的例题说明，两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列，而他们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。 例如，图3.8表示的是两个相同的矩形序列的线性卷积，y(n)是一个长度为2N-1的三角形序列；图3.9表示的是同样的这两个矩形序列的循环卷积，y(n)却是一个长度为N的矩形序列。 3.3 利用循环卷积计算线性卷积 1.如果L2N-1,则循环卷积不会等于线性卷积; 2.如果L≥2N-1,两者相等. 如果两个序列的长度不等:N,M 则L应该满足: L=M+N-1 例:计算两个N点的序列的线性卷积和2N点的循环卷积. 因此，对于长度为M的有限长序列，对Z变换取样即 频率取样不失真的条件，是取样点数N应等于或大于 原序列的长度M，即 。在M=N时，Z变换的取样 即DFTX(k)，利用IDFT公式可由X(k)恢复原序列x(n), 即 由X(k)求X(z) 习题： P.155 3.3， 3.8， 3.11 利用DFT计算线性卷积 线性卷积的矩阵表示 循环卷积的矩阵表示 循环卷积的矩阵表示 若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k] 与h[k]的线性卷积。 线性卷积的矩阵表示 循环卷积的矩阵表示 y0[k]中的[M-1, L-1]点对应于线性卷积 x[k]*h[k]中的[0 , L-M]点 例