数字信号处理和信号与系统（薛云）内容2.ppt

第3章 离散傅立叶变换 DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 循环卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样 FFT 　 　 有限长序列的傅里叶分析 2. 连续时间非周期信号 3. 离散非周期信号 4. 周期为N 的离散周期信号 离散傅里叶级数（DFS） 则DFS变换对可写为 离散傅里叶变换（DFT） 频域上的主值区间与主值序列： 　 　 离散傅里叶变换的性质 分3步计算： （1）将 延拓成周期为N的周期序列 （2）将 移位得 或 ； （3）对 取主值得 这个过程如图3.5所示。 3. 对称性(symmetry) 　 三种卷积的联系和区别： １．线性卷积 ２．周期卷积 ３．循环卷积 具体来说，循环卷积与周期卷积没有本质区别，循环卷积可被看作是周期卷积的主值；但是它们又有明显的不同。循环卷积的计算是在主值区间中进行的，而线性卷积不受这个限制。 上节的例题说明，两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列，而他们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。 例如，图3.8表示的是两个相同的矩形序列的线性卷积，y(n)是一个长度为2N-1的三角形序列；图3.9表示的是同样的这两个矩形序列的循环卷积，y(n)却是一个长度为N的矩形序列。 3.3 利用循环卷积计算线性卷积 1.如果L2N-1,则循环卷积不会等于线性卷积; 2.如果L=2N-1,两者相等. 如果两个序列的长度不等:N,M 则L应该满足: L=M+N-1 例:计算两个N点的序列的线性卷积和2N点的循环卷积. 因此，对于长度为M的有限长序列，对Z变换取样即 频率取样不失真的条件，是取样点数N应等于或大于 原序列的长度M，即 。在M=N时，Z变换的取样 即DFTX(k)，利用IDFT公式可由X(k)恢复原序列x(n), 即 3.5 快速傅里叶变换(FFT) 3.5.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即 3.5.3 DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 1.蝶形运算及运算量的比较 每级由N/2个蝶形组成,每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的. 复数乘次数为 2.同址计算(原位) 每一级的蝶形的输入与输出在运算前后可以存储在同一地址的存储单元中,这种同址运算的优点是可以节省存储单元,减低对硬件的要求. 3. 序列的倒序或变址计算 DIT―FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N= ，所以顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2…n1n0)表示。 3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT) 在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIF―FFT。 设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式： 3.7 FFT 的应用 3.7.2 用FFT对信号进行谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。 1. 谱分析中参数的选择 工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。 设连续信号xa(t)持续时间为tp， 最高频率