数值分析线性方程组的实验报告包含代码详解.doc
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线性代数方程组的直接解法
实验目的：
线性方程组求解的直接法编程实现
线性方程组求解的主元素消去法算法实现
线性方程组求解的LU分解得方法算法实现
线性方程组求解追赶法算法实现
实验比较：高斯消去、主元素消去、LU分解都用实例 这个进行比较。
知识理论
解线性方程组的方法大致分为直接法和迭代法。直接法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次的运算可求的方程组精确解的方法。
方程（2-1） 记为：AX=b；
一、高斯（Gauss）消元法
(1).Gauss消元法是最基本的一种方法。先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组。
消元过程：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组
基本思想
回代过程：按方程的相反顺序求解三角形方程组，得到原方程组的解。
(2) Gauss消去法的求解思路为：
若先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。利用求解公式回代得到线性方程组的解。
消元过程：第一次消元， （i=1,2,3……，n）.将（2-1）中第i个方程减去第一个方程乘以（i=1,2,3……，n），完成第一次消元，
（2-2）
其中：；
：
简记为：
其中：
按上述方法完成n-1次消元后得到。同解的三角方程组：
简记为：
回代过程：
按逆序逐步回代得到方程的解。
（3）算法：
（5）Matlab程序代码：
function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)
B=[A,b];
n = length(b);
RA = rank(A);
RB= rank(B);
zhicha = RB-RA;
if(zhicha~=0)
disp(因为RA≠RB，所以此方程组无解);
return;
end
if RA==RB
if RA == n
disp(因为RA=RB=n,所以此方程有唯一解);
X=zeros(n,1);
for p = 1:n-1
for k = p+1:n
m = B(k,p)/B(p,p);
B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);
end
end
b = B(1:n,n+1);
A = B(1:n,1:n);
X(n) =b(n)/A(n,n);
for q = n-1:-1:1
X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
end
else
disp(因为RA=RBn,所以此方程有无穷解);
end
end
运行检测：
A=[1 1 1;12 -3 3;-18 3 -1];
b=[6;15;-15];
[RA,RB,n,X]=gaus(A,b)
因为RA=RB=n,所以此方程有唯一解
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
1.0000
2.0000
3.0000
二、 主元素法
1.列主元素法消元
(1)基本思想：在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作为主元，通过对换行将其换到对角线上，然后进行消元.
(2)消元过程：
与Gauss很类似，每次对对角线换成最大的值，后面过程与Gauss基本相同。
如此经过n-1步,（2-1）的增广矩阵[A,b]被化为上三角矩阵；
回代过程：
同Gauss算法一样回代求解。
(3)算法：
det-1
对于k=1,2,3,…n-1;
|aik,k|=max|aik|(k≤i≤n)
(i)如果aik=0,则停止计算（det(A)=0）
(ii)如果aik=k,则zhuan（i）
换行 akj-- aik,j(j=k,k+1,…n)
bk-- bik
后边就是Gauss消元
(4).Matlab程序
function X=liezhu(A,b)
B=[A,b];
n=length(b);
RA=rank(A);
RB=rank(B);
if RA==RB
if RA==n
disp(因为系数矩阵与增广矩阵的秩相同且为n，此方程有唯一解)
X=zeros(n,1);
for p=1:n-1
[y,j]=max(abs(B(p:n,p)));
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