迭代法解线性方程组-数值分析实验报告.doc

数学与计算科学学院 《数值分析 》课程设计 题 目： 迭代法解线性方程组 专 业： 信息与计算科学 学 号： 1309302-24 姓 名： 谭 孜 指导教师： 郭 兵 成 绩： 二零一六年 六月 二十日 一 、前言：（目的和意义） 1.实验目的? ①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。 ②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。? 2.实验意义? ?? 迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。 二、数学原理： 设有方程组 …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式 …② (这种转化总能实现，如令), 并由此构造迭代公式 …③ 式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量，由式③可求得向量序列，若，则就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性 1.雅可比迭代法基本原理 设有方程组 …① 矩阵形式为,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且 从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式 …② 取初始向量，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： …③ 也可记为矩阵形式： …④ 若将系数矩阵A分解为A=D-L-U， 式中 ， ， 。 则方程Ax=b变为 得 于是 于是式中④中的 。 式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。 2.高斯—赛德尔迭代法 高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为 （i=1,2,…,n） 也可以写成矩阵形式 仍将系数矩阵A分解为 则方程组变为 得 将最新分量代替为旧分量，得 即 于是有 所以 3.超松弛迭代法 设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。 首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为 （i=1,2,…n） 再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均， 得，即： 于是的SOR迭代公式 (i=1,2,…n) …① 或 （i=1,2,…n） …② 当=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法； 当01时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛； 当1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。 将式②写成矩阵的形式，得： 即