2025年高考数学一轮总复习考点培优训练及答案 (13).doc

提能训练练案[13]

A组基础巩固

一、单选题

1.方程lnx＝4－2x的解所在的区间为()

A.(0,1) B．(1,2)

C.(2,3) D．(3,4)

[答案]B

[解析]通过构造函数法，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.由lnx＝4－2x得2x＋lnx－4＝0，设f(x)＝2x＋lnx－4，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－20，f(2)＝ln20，所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)，即方程lnx＝4－2x的解所在的区间为(1,2).故选B.

2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x1，))则函数f(x)的零点为()

A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0

C.eq\f(1,2) D．0

[答案]D

[解析]当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，

解得x＝eq\f(1,2)，

又因为x1，所以此时方程无解.

综上，函数f(x)的零点只有0.

3.(2025·陕西咸阳模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x0，))的零点个数为()

A.5 B．4

C．3 D．2

[答案]D

[解析]当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；

当x0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，

并且f(1)＝1－2＋ln1＝－10，

f(2)＝2－2＋ln2＝ln20，即f(1)f(2)0，

所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，

综上，函数f(x)的零点个数为2.故选D.

4.如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()

A.[－2.1，－1] B．[4.1,5]

C.[1.9,2.3] D．[5,6.1]

[答案]C

[解析]结合图象可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，故选C.

5.(2025·山东菏泽期中)函数f(x)＝eq\f(1,2)lneq\f(1＋x,1－x)－sinx的零点个数为()

A.1 B．0

C．3 D．2

[答案]A

[解析]由eq\f(1＋x,1－x)0，可得－1x1，即定义域为(－1,1)，所以f′(x)＝eq\f(1,1－x2)－cosx≥0，即f(x)在(－1,1)上为单调递增函数，又f(0)＝0，所以f(x)仅有一个零点.故选A.

6.函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()

A.2 B．3

C.4 D．5

[答案]B

[解析]函数f(x)＝2sinx－sin2x，在[0,2π]的零点个数即2sinx－sin2x＝0在区间[0,2π]的根的个数，

令h(x)＝2sinx，g(x)＝sin2x，

画出两函数在区间[0,2π]的图象(图略)，可知h(x)＝2sinx和g(x)＝sin2x在区间[0,2π]的图象的交点个数为3.故选B.

7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()

A.(0,1] B．[1，＋∞)

C.(0,1) D．(－∞，1]

[答案]A

[解析]画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点.当x≤0时，f(x)有一个零点，需0a≤1；当x0时，f(x)有一个零点，需－a0，即a0.综上，0a≤1.

8.(2024·广东汕头期末)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，0≤x≤2，,log16x，x2，))若关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(5,4))) B．(－2，－1)

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))

[答案]A

[解析]由题可画出函数的大致图象