2025年高考数学一轮总复习考点培优训练及答案 (10).docx

提能训练练案[53]

A组基础巩固

一、单选题

1．(2025·福建泉州适应性练习)椭圆C：x2＋2y2＝1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|最小值为()

A．eq\f(\r(2),2) B．1

C．eq\r(2) D．2

[答案]B

[解析]要使|AB|最小，即为l和焦点F在的轴垂直的直线截得的线段长．右焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，直线为x＝eq\f(\r(2),2)，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为±eq\f(1,2)，故|AB|最小值为1.故选B.

2．(2024·福建三明一中月考)焦距为2eq\r(2)，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq\f(2,7)的椭圆的标准方程为()

A．x2＋eq\f(y2,3)＝1

B．x2＋3y2＝1

C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝1

D．x2＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,3)＋y2＝1

[答案]A

[解析]设椭圆方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，m0，n0，m≠n，

直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝eq\f(4,7)，

所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq\f(4,7)－2＝－eq\f(6,7)，

又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),m)＋\f(y\o\al(2,1),n)＝1，,\f(x\o\al(2,2),m)＋\f(y\o\al(2,2),n)＝1，))两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),m)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),n)＝0，

整理得eq\f(?x1＋x2??x1－x2?,m)＝－eq\f(?y1＋y2??y1－y2?,n)，所以2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2n,3m)，即n＝3m.

又c＝eq\r(n－m)＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝3，,m＝1，))

故椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,3)＝1.故选A．

3．(2024·浙江杭金湖四校联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)

C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(3),2)

[答案]A

[解析]当x＝c时，eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，∴y＝±eq\f(b2,a)，

∴A(－a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，O(0,0)，

故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，

∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，

又eq\o(OM,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\f(c－a,2)·eq\f(b2,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,2a)))c＝0，∴a＝2c，∴e＝eq\f(1,2).故选A．

4．斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()

A．2 B．eq\f(4\r(5),5)

C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)

[答案]C

[解析]设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，

则x1＋x2＝－eq