Hermite插值精选.ppt

§2.2.3 埃尔米特插值  /*Hermite ’s Interpolation*/ 前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在结点取相同值: 几何上:两曲线有公共交点 在某些实际问题中，希望近似多项式能更好的密合原来的函数，即不但要求插值多项式在节点上与函数值相等，而且还要求与在节点上导数值相等，甚至要求高阶层数也相等，即提出埃尔米特（Hermite）插值问题。 设已给数据点{(xi,yi)}及{(xi,yiˊ)},要求找满足插值条件 的2n+1次多项式H2n+1(x) 如果 且已知 函数表及导数表，则存在唯一次数不超过2n+1次多项式 满足插值条件 定理1 一、Hermite插值问题的提法 求Hermite插值基函数基函数 (1)考查插值问题，已知 寻求满足插值条件 的2n+1次多项式 二、基函数构造法 显然, x0, x1, …,xj-1,xj+1,…,xn为 的二重零点且 于是 其中c为待定常数。 (2)考查插值问题，已知 寻求满足插值条件 的2n+1次多项式 其中a为待定常数。 显然, x0, x1, …,xj-1,xj+1,…,xn为 的二重零点且 于是 称2n+1次多项式 为 Hermite插值的基函数 满足插值条件 的2n+1次多项式: 称为Hermite插值多项式 于[a,b]连续, 于(a,b)存在，则： 三、Hermite插值余项 特例: Hermite插值中,较常用的是过两点的三次Hermite插值(n=1) 给定函数值表如下: 例1 求一次数不超过3次的多项式H3(x), 使之满足如下条件： 并写出截断误差 的表达式 此法实为待定系数法. 解法1 先求满足插值条件p2(i)=f(i)(i=1,2,3)的二次多项式，得 设所求多项式为： 由条件 得：k=2, 所以 解法2 造重结点的差商表 由Newton插值公式得: 插值余项 解法3 插值基函数表示法(略) 补充:反插值问题 给出函数y=sh(x)的函数表, 试利用此数 表求使y=5的x值。 xi 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 yi 4.457 5.466 6.695 8.198 10.018 插值是利用函数 y = f(x)的已知数据,求给定的自变量x所对应的函数y的近似值。而本题则是求已知函数值y所对应的自变量x之值。如果函数y = f(x)的反函数 x=φ(y)存在，则可把所给数据值 y视为自变量取值，而把x的值视为函数值，对反函数x=φ(y)进行插值，即可求得欲求的x， 这样的问题称为反插值。 例2 解 由于y=sh(x)为单增函数, 所以其反函数存在, 现用Newton插值法求解该问题.首先构造反函数的差商表 ??? yi xi=φ(yi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 4.457 2.2 ? ? ? ? 5.466 2.4 0.19822 ? ? ? 6.695 2.6 0.17873 －0.01586 ? ? 8.198 2.8 0.16038 －0.01385 0.00134 ? 10.018 3.0 0.14386 －0.01194 0.00118 －0.00009 根据差商表可得xi=φ(y)的Newton插值多项式 从而可得y=5,所以应得的x值为 说明:反插值法还可用于方程 f(x)=0 的近似求根。对函数y=f(x)进行反插值，求 y=0 所对应的 x 值,即为方程 f(x)=0的近似根。 补充题: 给定数据表 xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 0.7001 0.4016 0.1081 -0.1744 -0.4375 试利用此数据求出 y(x)=0 在 [0.3，0.4] 中的根（以四位小数计算）.