南开大学2006年数学分析参考解答..doc

南开大学2006年数学分析考研试题及解答 求极限. 设，试证. 设在上有界可积，，求证存在, 使得. 若幂级数在内收敛于，设，满足和，，则，对所有. 设函数在有任意阶导数，且导数数列在一致收敛于，，求证. 设在球上连续，令，,， 求证,. 设在全空间上具有连续的偏导数，且关于都是周期的，即对任意点，成立，则对任意实数，有， 这里是单位方体. 设为三阶实对称方阵，定义函数， 求证在条件下的最大值为矩阵的最大特征值. （1）设数列，满足，，定义集合, 为整数集，为自然数集， 求证对任何实数，存在数列，使得； 试证 一个非常数的周期连续函数必有最小正周期. 设是上的周期连续函数，周期为，且， 令，，求证级数收敛. 南开大学2006年数学分析考研试题解答 1、解 当时， 令，， 原式 . 当时，同理 故. 证明 将行列式按第一列展开 ， 所以， 同理将行列式按第列展开，得 ，， 于是 . 证明 构造函数 ，， ， 由在上有界可积，知在上连续， 存在，使得， 即. 证明 设， 由于一致收敛于， ， 则有一致收敛于，一致收敛于， 于是，， 又因为，故. 证明 令，， ，，， 则 ， 在中：，，，，， ， . 故结论得证. 证明 由偏导数连续， ， 同理 ， ， 故有. 证明 由幂级数的收敛性知连续， 于是， 由幂级数的性质都在上连续， 由，，存在在与之间， 使得，显然有，，， 由，，存在在与之间，使得， 显然有，，， 同理这样继续下去，可得 ，， 由于已展开成收敛的幂级数 ， 所以，， 故，. 8、设为阶实对称方阵，定义函数，其中， 求证：在条件下的最大值和最小值分别为矩阵的最大特征值和最小特征值. 证明 因为是有界闭集，在上连续， 所以在上存在最大值和最小值. 设，使得， ，使得， 则对任意的实数，都有，， ， ， ， ， 对时，有， 令，得， 对于时，有， 令，得， 故有，（任意） 从而，是的特征值， 同理可证也是的特征值， 设为的特征值，对应的特征向量为，， ，， 于是， 所以是的最大特征值，是的最小特征值. 证明 因为是实对称矩阵，所以存在正交阵， 使得,为实数， 于是 ， 令， 则， 又因为, 所以 ， 即， ， 不妨设， 则有， 显然有最大值. 证明（1）对任意固定实数，存在，使得，为整数， 将闭区间进一步缩小，存在， 使得， 记为，一直进行下去，得到一列闭区间套，使得 ， 因为， 所以的任何子列比收敛于零， 则， 利用闭区间套定理，存在， 使得， 由是唯一公共点，知. 令，则有. （a）因为集合有下界， 有确界存在定理，存在， （b）现证明， 根据下确界的性质，存在，， 使得， 对任意，由得连续性，得 ， 所以是的周期. （c）因为，， 所以， 若，则， 于是得周期网点（指等于周期整数倍的点）在实数轴上稠密， 从而，任意，存在，是有一些周期网点所组成的序列，， 由此， 即（为常数），矛盾， 故，结论得证. 10、 证明 设，由于是周期为1的连续函数，且， 易知亦是周期为1的连续函数，且，，， ， ， 其中为常数，， ，而收敛， 所以收敛.  8