南开大学2015-2015年数学分析考研试题解答.pdf
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南开大学 2000 年数学分析考研试题
x+ y sin xy
( ) ( )
, , 0,0
x y ≠
2 2 ( ) ( )
1. 设f x,y = x + y ，
( )
0， (x, y) = (0,0)
证明f x,y 在点 0,0 处连续，但不可微.
( ) ( )
′
2. 设f u 具有连续的导函数，且 lim f u = A 0 ， R 0 ，
( ) ( ) ( )
u→+∞
2 2 2
D = x, y : x + y ≤ R , x, y ≥ 0
{( ) }
（1）证明 lim f u = +∞ ；
( )
u→+∞
′ 2 2
= +
（2）求I f x y dxdy ；
R ∫∫ ( )
Dd
I
lim R .
（3）求
2
R→+∞ R
3.（1）叙述f x 于区间I 上一致连续的定义；
( )
（2）设f x ，g x 都于区间I 上一致连续且有界，
( ) ( )
证明F x = f x g x 也 I 上一致连续，
( ) ( ) ( )
4.设函数列 f x 于区间I 上一致收敛 f x ，且存在数列 a ，使得当x∈ I 时，
{ n ( )} ( ) { n}
总有 f x ≤a ，证明f x I 上有界.
n ( ) n ( )
n
5.设a 0 ， n= 1,2, ，S = a ，
n ( ) n ∑ k
k=1
∞ ∞
a
证明 （1）若 n 收敛，则 a 也收敛.
∑ ∑ n
n=1 Sn n=1
∞ ∞
a
λ
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