南开大学2005年数学分析考研试题.doc

PAGE PAGE 5 南开大学2005年数学分析考研试题 计算二重积分，其中. 设为由方程组确定的隐函数，求. 求极限. 求证在上连续. 判断级数的敛散性. 设函数在上连续可导，且， 求证在上一致收敛； 设，求证在上连续可导. 设，在全平面上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周, 有，求证. 设在上两次可导，，， 并且对任何，有.设， 求证； 求证存在,使得；（3）求证. 设和在区间内有定义，对任何， 有， (1)求证在内连续; (2) 在内左导数、右导数存在。 南开大学2005年数学分析考研试题的解答 1、解 . 2、解 ， 其中由 求出， 。 3、解 原式. 4、证明 设，， 显然对任意，一致有界， 对每，在上单调，， 且当时，一致趋于0， 根据狄利克雷判别法，得在上一致收敛， 又在上连续， 故在上连续。 5.解法1由泰勒公式， 则， 而后者收敛，则原级数收敛。 解法2 利用,得 原式 ，所以原级数收敛。 6、证明 由于函数在上连续可导，且，在上连续，且有界，设； 由拉格朗日中值定理， 而收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 因为所以一致收敛, 于是可以逐项求导，且,它是连续的，故连续可导. 7、证明 用反证法：假设存在，有， 不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在的一个邻域， 当时，有， 则存在一个圆周，，这与已知条件矛盾。 所以结论得证。 8、证明 当时，， 时，， 综上，成立； 用反证法，若对任意的，有， 则在时，不存在，矛盾。所以在,使得； 由（1）、（2）知， 在上，，但与不恒等， 所以， ，故。 9、证明 （1）对任意，由题设条件，得 ，， 从而得到 ， 即，于是在上是凸函数， 由此而来，成立， 进而，关于是单调递增的，关于是单调递增的。 （2）对任意固定，任取 则有 ， 则 ，关于单调递增，且有下界，于是存在右极限， 即存在，同理可证存在，由极限的保不等式性，可得 。 于是在内右导数存在，在内左导数存在，且 。 (3)对任意 , , ， 从而有 于是有， 即得在上是Lipschitz连续的,从而在上是连续, 故可得知在内连续. 当有端点时，在断点处未必连续. （注：在上未必有界。 例如，，在上是无界的。） 例1 设，显然此函数在上是凸函数, 但是在上无最小值，在处不连续. 例2 设，， 在上是凸函数，且有下界， 但是在上无最小值.