南开大学2007年数学分析参考解答..doc

南开大学2007年数学分析考研试题及解答 1求。 解法一 利用，其中， ， . 解法二 . 2 求。 解 ， 令， 由于此积分在上一致收敛，从而在上收敛， ，， ， 由，得，， 故； 或者 。 3 求函数在闭区域上的最小值。 解 令解得为在内的唯一驻点，且 当属于边界时，， 令，， 代入得 ， 所以。 或者利用拉格朗日乘数法求解， 设， 再令求得驻点值。 4 设，求二重积分。 解 ， ，， ，， 所以。 5 设，， 求曲面积分的值。 解 观察曲面方程，可知其关于轮换对称， 因此， 又是关于的奇函数 曲面关于平面对称，故， 所以。 6 设为单位圆的正向，计算积分 。 解 设原式，直接计算可得，， 我们利用“挖奇点”的方法。 做一个充分小的圆周，方向逆时针。与所包围的区域记为，由格林公式得 ， 所以， 再应用一次格林公式及积分中值定理，得 ， 令，得 ， 所以。 7 设函数在上连续，，并且，对成立， 求证：方程在区间中有且仅有一根。 证 记，因为函数在上连续及， 所以当时，有，（其中）， 。 ， 由连续函数的介值定理，存在，使得， 即方程在区间中有一根； 再由，知在上严格单调递增，从而跟的唯一性得证。 8 设在上连续，求证：。 证明 , 当为偶数时， ， ， ， 从而， 同理可证，当为奇数时，也有 ， 故结论得证。 或者，由设在上连续，得设在上一致连续， 再由 当为偶数时, ， 当为奇数时, , 即可得结论。 9 若正项级数收敛，求证 （1）收敛，； （2）收敛，。 证明 （1）由正项奇数收敛，可知，存在， 当时，有， 从而，由此立得收敛。 （2）利用Young不等式， ，, 得 ， 因为，所以收敛，又由收敛， 故收敛。 或者利用几何算术平均不等式, 得, 因为，所以收敛，又由收敛， 由此可知收敛 10 求证：含参变量广义积分在关于的任何有界闭子区间上一致收敛。 证明 只须证明，对任意固定，关于是一致收敛的。 令，则在上连续，且非负。 在上连续， 利用狄尼定理，积分在上一致收敛。 或者， 利用不等式，得 ， ，。 由收敛，得关于一致收敛，. 证明含参变量广义积分关于是一致收敛的. 证明 方法一 利用不等式，得 ， ， 而收敛，所以关于是一致收敛的。 方法二 利用不等式, 得 ， ， 成立，故在是一致收敛。 11 设在区间上连续且有界，并且，对所有成立， 求证：。 证明 令，依题设条件，对所有成立， 则恒正或恒负。 若不然，设，因为在区间上连续，所以由连续函数的零点定理，知存在介于和之间，使得，这与题设条件矛盾，不妨设， 所以有，，即， 这说明数列是单调递增的，又有界，从而存在。 所以， 对的情形，证明过程相似。 引伸 设在区间上连续有界，且对某个，对所有，有 ， 试证：存在数列，，使得。 证明 ， 依题设条件，可得必有或， 不妨设， 我们断定，，对于任意大的，不可能对所有，恒有， 否则由 , , 这与的有界性矛盾， 所以任取，存在，使得，所以 ， 结论得证。 注：。 12 .设，函数在内二阶连续可微，在上连续，且在内满足，其中为Laplace算子，常数，设对边界上的任意点有，证明：对任意，有。 证明 记，分两步来证明， 先证明：，，因为是有界闭集，所以存在， 设 ，则, 若不然,设,因为，所以，这说明也是极小值。 类比一元函数极值理论知，，， 又，所以， 推出，矛盾， 故，； （2）设，其中，且使得，这样的正数是存在的，因为是有界闭集，，可取到充分小的,使得. 直接验证，可知成立， 利用（1）中的结果，可知，， 故，，证毕。 9