第六章 付里叶级数与付里叶变换.ppt

(3) 延迟定理 x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。 证明 (4) 相似性定理 通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。 # 证明 证明： (5) 导数定理 * 第六章 付里叶级数与付里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 第一节 付里叶级数 周期函数的傅里叶展开； 奇函数和偶函数的傅里叶展开； 有限区间中的函数的的傅里叶展开； 复数形式的的傅里叶展开；。 复变项级数 幂级数 周期为2?的函数的付里叶级数 复数形式的付里叶级数 的函数形式与周期是任意的，周期与形式是固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族： 6.1.1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 a. 2l 周期性 b. 按三角函数族展开 不同的函数形式由不同的组的 和 表示。 同样 (6.1.1) 此为傅里叶级数展开 三角函数组具有正交性 (6.2) 因此 (6.3) 此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 狄里希利定理 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (6.1.1) 收敛，且 例 交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。 解 周期为 在函数的连续点x 在函数的间断点x 和 频谱 各个频率分量的幅度 频率 幅度 2 0 E 通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频域中的表示。 因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。 频率 幅度 2 0 E 6.1.2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 是奇函数， 是偶函数。 故 奇函数 f(z) 有 其中 偶函数 f(z) 有 其中 例 矩形波 周期 奇函数 频域中的图示由你们给出 6.1.3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开 f(x) 定义于 [0, l]. 可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。 例 偶延拓 奇延拓 展开式是余弦级数或正弦级数,只取[0，1]部分 6.1.4. 复数形式的的傅里叶级数 其中 例 矩形波 第二节 付里叶积分与付里叶变换 周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？ 有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当为 。从方便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。 设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开 6.2.1. 傅里叶积分 令： 则 (6.4) (6.5) 若 有限，则 (6.4)中的余弦部分的极限为： 同理，正弦部分的极限为： 固 (6.6) (6.6) 是 f(x) 的傅里叶积分，(6.7) 为它的傅里叶变换。 为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。 (6.7) 式中 傅里叶积分值= 连续点 间断点 傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) 在区间 上绝对可积 （即 收 敛），则f(x) 可表为傅里叶积分，且 6.2.3. 奇、偶函数 偶函数 奇函数 将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。 偶函数 例 定义矩形函数为 (1) 6.2.4. 复数形式的傅里叶积分 原象函数 像函数 表示为 原函数到像函数的正变换 像函数到原函数的反变换 例 同前例 6.2.5. 傅里叶变换的基本性质 (1)线性定理 证明 (2) 位移定理 频域的位移 *