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第六章 级数理论 §1 数项级数 I 基本概念 一 数项级数及其敛散性 { } 定义 1 给定一个数列 u ，对它的各项依次用“+ ”号连结起来的表达式 n u u u+ ++ + （1） 1 2 n ∞ 称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑un ，其中un 称为数项（1）的通项． n 1 n n n 数项级数（1）的前 项之和，记为 ，称之为（1）的前 项部分和，简称为 S un ∑ k k 1 部分和． { } S 定义 2 若级数（1）的部分和数列 S 收敛于 （即 ），则称级数（1）收 Slim S n n n →∞ ∞ S { } 敛，并称 为（1）的和，记为 ．若 S 是发散数列，则称级数（1）发散． S u ∑ n n n 1 二 收敛级数的基本性质 1 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：∀ε0 ∃N 0 n ∀N + ， ， ∀，p ∈Z ，有 u + u + + u ε ． n+1 n+2 n p+ ∞ 2 级数收敛的必要条件：若级数 a 收敛，则 ． ∑ n lim 0 an →n∞ n 1 3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性． 4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数 亦如此），即收敛级数满足结合律． 5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散． 6 在级数中，若不改变级数中各项的