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随机过程的基本概念 随机过程的定义 随机过程的概率分布 随机过程的统计特性 随机序列及其统计特性 复随机过程 几种重要的随机过程 1 随机过程的定义 随机过程——研究随“时间”变化的“动态”的随机现象 随机过程几个例子： 生物群体的生长问题：以 Xt 表示在 t 时刻群体的个数，对每一个 t ，Xt 是一个随机变量。若从 t=0 开始，每隔24小时对群体个数观测一次，则{Xt , t =0, 1, … }是随机过程。 某电话交换台在时间段[0, t]内接到的呼叫次数是与 t 有关的随机变量 X (t)，对于固定的 t，X (t) 是一个取非负整数的随机变量。则 { X (t), t ?[0, ?) } 是随机过程。 随机过程的定义 [定义] 设（S, ?, P）是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个 t ?T ，有一个随机变量 X (t, e) 与之对应，则称随机变量族 { X (t, e), t ?T } 是（S, ?, P）上的随机过程，简记为随机过程 { X (t), t ?T }。T 称为参数集，通常表示时间。 状态与样本函数 状态——对于固定时刻 t ? T ，X (t, e) 是（S, ?, P）上的随机变量，此时把 X (t) 所取的值称为随机过程X (t)在时刻 t 所处的状态。 X (t) 的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。 样本函数——对于固定e ，X (t, e) 是定义在T上的普通函数，称之为随机过程 { X (t, e), t ?T }的一个样本函数或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间。 随机过程的四种类型 2 随机过程的概率分布 设 {X (t), t ?T }是随机过程，对任意 t1?T 及实数 x1?R ，一维分布函数为 （2）二维概率分布 设{X (t), t ?T }是随机过程，对任意 t1, t2?T 及实数 x1 , x2 ?R，二维分布函数为 （3）n 维概率分布 设 { X (t), t ?T } 是随机过程，对任意 t1, t2, …, tn ?T ，及实数 x1 , x2 …, xn ?R，n 维分布函数为全体有限维分布函数的集合称为 { X (t), t ?T } 的有限维分布函数族。 n 维概率密度函数 3 随机过程的统计特性 设XT ={X (t), t ?T }是随机过程，如果对任意t ?T，E{X (t)}存在，则随机过程 XT 的数字特征定义为 几种关系 均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 是最基本的两个数字特征。 “相关理论”——在随机过程理论中，仅研究 mX (t) 和 RX (s, t)有关的理论。 随机过程的特征函数 例1 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(?t + ?)，其中 a 0，? 为常数，?为在（0, 2?）内均匀分布的随机变量。求随机过程 { X (t), t ?(0, ?) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。 互协方差、互相关函数 设有两个随机过程 { X (t), t ?T } 和 { Y (t), t ?T } ， 例2 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)， 4 随机序列及其统计特性 设 X (t) 是连续随机过程，如果对t 以周期Ts进行等间隔抽样，即得随机序列 Xn = { X (n), n ? Z }。 N维随机向量 一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量，X = [X1, X2, ? , XN]T 自相关阵、协方差阵的性质 对称性 半正定性 例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。 解： 5 复随机过程 [定义] 两个实随机过程：{ Xt , t ?T }和 { Yt , t ?T }，如果对于任意 t ?T，有  Zt = Xt + jYt 则称 { Zt , t ?T } 为复随机过程。 复随机过程的数字特征 例3 6 几种重要的随机过程 二阶矩过程 平稳随机过程 高斯随机过程 增量过程 泊松过程 马尔可夫过程 (1) 二阶矩过程 [定义] 对于随机过程{ X(t), t ?T }，若对任意 t ?T ，X(t)的均值和方差都存在，则称 X(t) 为二阶矩过程。 (2) 平稳过程 广义平稳过程 (3) 高斯随机过程 平稳高斯过程 均值和自相关函数是平稳的， 平稳高斯过程的一维、二维概率密度函数 高斯过程的性质 高斯过程完全由它的均值和相关函数（协方差函数）决定； 高斯过程的不相关与独立等价； 高斯过程的宽平稳与严平稳等价； 高斯过程与确定信号之和仍为高斯过