随机过程在金融中的应用2随机过程的基本概念.ppt

三、随机过程的特征函数 1．一维特征函数 则 注 首页 2．n维特征函数 则 3.有限维特征函数族 注 返回 首页 第三节 复随机过程 一、定义 是两个实随机过程 则 称为复随机过程 并称 首页 二、数字特征 1．均值 函数 2．自协方差函数 其中记号“—”表示“共轭” 首页 3．自相关函数 自协方差函数与自相关函数的关系 4．方差 函数 它实际上等于自协方差函数 且有 首页 证 由于 所以 即 首页 5．互协方差函数 6．互相关函数 首页 自相关 关系 即 类似地 互相关 关系 首页 例1 已知复随机过程 解 返回 首页 第四节 几种重要的随机过程简介 一、独立增量过程 1．定义 随机变量的增量 是相互独立的 首页 2．齐次性 或称时齐的 注 首页 例1 证 的随机变量序列，令 则 首页 二、泊松过程 1．计数过程 则 且满足： 首页 注 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。 2．泊松过程 满足 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 首页 则称 注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且 并称 生起率或强度 （单位时间内发生的事件的平均个数） 首页 说明 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件： 为此给出一个与泊松过程等价的定义 满足 首页 则称 首页 例2 已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。 解 设 表示在时间t时到达的顾客数 首页 * 第二章 随机过程的基本概念 第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介 第一节 随机过程的定义及其分类 一、直观背景及例 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 例1 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t?[0，24]。 例2 研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t=1，2，… 首页 例3 国民收入问题 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。 随着各种随机因素的影响而随机变化， 一般地有 其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累 随机过程 首页 二、随机过程的定义 1．随机 过程 设E是随机试验，? ?{?}是它的的样本空间，T是一个参数集，若对于每一个 都有随机变量 ，与之对应， 则称依赖于t的随机变量 为随机过程，或称为随机函数， 通常记作 说明1 参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。 首页 说明2 因为 是一个随机变量， 首页 2．贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便可得到一无穷序列 因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0），所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列，称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。 首页 设 称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。 注 如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个样本点（0，1）所组成的样本空间 则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1） 首页 三、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…} 离散参数 连续参数 参数分类 参数集T的是一个不可列集 状态分类 离散状态 连续状态 取值是离散的 取值是连续的 首页 T离散、I离散 T离散、I非离散（连续） 参数T状态I分类 概率结构分类 2．按过程的概率结构分类 T非离散（连续） 、I离散 T非离散（连续） 、I非离散（连续） 独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程 首页 （1）独立随机过程 简称独立随机过程。 首页 （2）独立增量随机过程 是相互独立的， 首页 （3）马尔可夫过程 简称马氏过程。 首页 马氏过程的特点 马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程为无后效过程。 称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。 首页 （4）平稳随机过程 平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化