§ 立体几何中的向量方法 (一) 平行与垂直关系的向量证法.doc

高二数学（22）——立体几何中的向量 (一) 平行与垂直关系的向量证法 知识点一求平面的法向量 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ＝(1，－2，－4)，＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)． = 0， n· = 0. 即，解得.令y＝1，则x＝2. ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可． 是平面A1D1F的法向量. 证明: 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面A1D1F的法向量． 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E，＝.D1＝(0,0,1)，F，A1(1,0,1)．＝，＝(－1,0,0)． ∵·＝·＝－＝0，·＝0，∴且⊥. 又A1D1∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F，∴ 是平面A1D1F的法向量．知识点二利用向量方法证平行关系 、的方向向量分别为、，则 （2）线面平行： ①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； ②设直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行： ①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量； ②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行. 例2　在正方体中，是的中点，求证：. =， ∴，又, ∴ 证法二： ∵= +=+++ =+. ∴，，共面. 又B1C 面ODC1，∴B1C∥面ODC1. 证法三 如图建系，设正方体的棱长为1，则可得 B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0,1,1)，＝(－1,0，－1)， ＝， ＝. 设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则　得 令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)． 又 ·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴⊥n，∴B1C∥平面ODC1. 【反思】　证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与共线；二是说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直． 　 如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，.求证：平面. 证明如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz. 设AB＝a，BE＝b，CF＝c， 则C(0,0,0)，A(，0，a)， B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)． ＝(0，b，－a)， ＝(，0,0)， ＝(0，b,0)， · = 0，· = 0，从而CB⊥AE，CB⊥BE. 所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF， 所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三　利用向量方法证明垂直关系 、的方向向量分别为、，则 （2）线面垂直： ①设直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。 （3）面面垂直： ①证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量； ②由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直. 例3．在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得⊥平面. 解建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)． =（1，1，0），=（0， 1， 2），  =（2，2，m2）. ∵ ⊥平面EFB1， ∴ ⊥EF，⊥B1E， ∴· = 0且· = 0， 于是 ∴m＝1， 故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1. 【反思感悟】　证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行． 中，是棱的中点，试在棱上求一点，使得平面平面. 2．在正三棱柱中，. 求证：. 证明　建立空间直角坐标系C1—xyz，设AB＝a，CC1＝b.则A1，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，A，C1(0,0,0)． = =（0， a，b），＝. ∵B1C⊥A1B，·＝ －＋b2＝0而·＝a2－a2－b2＝－b2＝0 ∴ ⊥ 即AC1⊥A1B. 课堂小结： 1．用待定