§ 三重积分.doc

第十五章 多元实值函数的积分 一、三重积分的概论 回顾:密度为(x,y,z)的空间物体的质量 定义:设f(x,y,z)是定义在有界闭区域上的有界函数 (1)任意分割 (2)作乘积 (3)作和式 (4)取极限 不管如何分割,如何选取,若各闭域最大直径时,上述极限总存在,则称之为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分 记 名称 (略) 三、三重积分的计算法 (化三重积分为三次积分) 1. 直角坐标如下 图示 D:, 各连续性 : 最多两交点 = 可类似得另两公式 例1.把三重积分化为三次积分,其中 (1)由与三个坐标平面围成的区域 (2) (3)与z=4所围 (4)由y+3=1, , x=0, z=0 围成 解:(1)图示 : (2)图示 或 : 或= 注:内层所得 (4)图示 : 或 : 或 例2:计算例1(4) ①体积 ② 利用三重积分计算由平面x+y+z=2, y=x, z=0及抛物柱面 所围立体体积. P95 例1 解:图示 :, , V= 例3:设一物体是一椭球面,每点的体密度与该点到xoy平面的距离成正比(比例常数k),求此物体质量M. 解: 图示 介绍: : , : 说明: 2.柱面坐标系下 柱面坐标:直角坐标柱面坐标点(x,y,z) 关系 坐标曲面: (圆柱面) (半平面) (平面) 公式: 直角坐标柱面坐标 ① ② ③ 例4:计算三重积分,其中是由曲面与平面z=4 所围成的闭区域. 解: : : 例5:用柱面坐标表示三重积分 : 所围 所围 解:(2)图示 : : 3.球面坐标系 概念: 直角坐标(x,y,z)球面坐标 关系: 坐标曲面: (球面) (圆锥面) (半平面) 公式: 直角坐标球面坐标 ① ③ = = 其中② 例6: 用球面坐标表示三重积分 : (1) (2) (3) 所围(上半部分) 解: (1) : (2) : (3) : 例7:求由球面与锥面所围立体(上半部分)体积 解:图示 : (建方程) : : V 阅 P100 例6(1) (2)转动惯量 作业: P112 14(3) 15(1)(2) 16(2)(3) 17(1)(2) 18