必修4.1.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象.docx

§必修4.1.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，理解φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．2．会用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象．3．理解并掌握通过对函数y＝sin x的图象进行平移变换及伸缩变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法．1．ω、φ、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的作用1）y＝sin(x＋φ)的图象与y＝sin x图象的关系．y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sin x的图象向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个长度单位而得到．2）y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)图象的关系．y＝sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的倍，纵坐标不变而得到．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0)的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先画出y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个长度单位，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．3) 由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍，再沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．两者最大的区别就是平移单位的不同．2．“五点法”作图用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象．(1)确定函数的最小正周期T＝；(2)令ωx＋φ分别等于0，，π，，2π确定这五个关键点，列表如下：x－ωx＋φ0π2πy0A0－A0这五个点为：P1，P2(，A)，P3，P4(，－A)，P5.其中，P1，P3，P5均为零点(图象与x轴的交点)，P2是最大值点，P4是最小值点，这五个点分别称为第一、二、三、四、五个关键点．(3)描点，画出函数在一个周期内的图象，再向左、右无限扩展，就得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象．这里用到了整体代换的数学思想方法，即把ωx＋φ看成一个整体．把函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质问题转化为y＝sin x的性质和图象问题去处理．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质1）y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)求得，单调减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)求得．2）y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)求得，即x＝(k∈Z)；对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ (k∈Z)求得，即x＝(k∈Z)，得对称中心坐标为(k∈Z)．3）当φ＝kπ＋ (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数；当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；当φ≠kπ＋且φ≠kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是非奇非偶函数；4）在物理学中，y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示简谐运动的运动方程，这时参数A，ω，φ有如下物理意义：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离．(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间[即函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的最小正周期]．(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内做简谐运动的物体往复运动的次数．(4)ωx＋φ叫做相位，当x＝0时的相位φ称为初相．5）对于y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[1，＋∞)，若A0，ω0时，物理意义变化了吗？答：振幅应为－A，周期为T＝，φ不是初相，应先用诱导公式化为正数后，再确定初相φ.如y＝－sin的初相φ≠－，因为A＝－10，y＝－sin＝sin＝sin，初相为φ＝.题型一　“五点法”作函数图象及相关问题例1　用“五点法”画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间．分析：注意“五点法”的作图步骤：列表、描点、成图．解析：列表如下：2x＋0π2πx－y020－20描点、成图．图如下图所示：由图象知在一个周期内，函数在区间上单调递减，又因