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求数列通项公式常用的七种方法 林彩凡 山东省东阿县实验高中 252200 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列为等差或等比数列，根据通项公式或进行求解. 例1：已知是一个等差数列，且，求的通项公式. 分析：设数列的公差为，则解得 二、前项和法：已知数列的前项和的解析式，求. 例2：已知数列的前项和，求通项. 分析：当时，== 而不适合上式， 三、与的关系式法：已知数列的前项和与通项的关系式，求. 例3：已知数列的前项和满足，其中，求. 分析： ① ② ①-② 得 即 又不适合上式 数列从第2项起是以为公比的等比数列 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫???画瓢”，由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：，求通项 分析： ┅ 以上各式相加得 又，所以 ，而也适合上式， 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列中有，即第项与第项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例5： 求通项 分析： 故 而也适合上式，所以 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列中有（均为常数且），从表面形式上来看是关于的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设 则 而 即 故 数列是以为公比的等比数列，借助它去求 例6：已知 求通项 分析： 数列是以为首项，为公比的等比数列 故 ㈡、取倒数法：这种方法适用于（均为常数 ），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 的式子. 例7：已知 求通项 即 数列是以为首项，以为公差的等差数列 ㈢、取对数法：一般情况下适用于（为非零常数） 例8：已知 求通项 分析：由知 在的两边同取常用对数得 即 数列是以为首项，以为公比的等比数列 故 七、“（为常数且不为，）”型的数列求通项. 例9：设数列的前项和为，已知，求通项. 解： 两式相减得 即 上式两边同除以得 （这一步是关键） 令得 （想想这步是怎么得来的） 数列从第项起，是以为首项，以为公比的等 比数列 故 又，所以 不适合上式 注：求（为常数且不为，）”型的数列求通项公式 的方法是等式的两边同除以，得到一个“”型的数列，再用 上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出的通式，从而求出.另外本 题还可以由得到即,