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求递推数列通项公式和求和的常用方法 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考： 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 【解析】： ， ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列中，，，求数列的通项公式. 【解析】：，，， 猜测，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式. 三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例三 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式. 【解析】：,,=1+++ =. 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练3.已知,,求数列通项公式. 四 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 例四 已知,,求数列通项公式. 【解析】：,,又有= 1×=,当时，满足，. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是. 五 构造新数列: 将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列. 例五 已知数列中, ,,求的通项公式. 【解析】:利用,求得,是首项为 ,公比为2的等比数列,即, 反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式. 六 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换. 例六 已知数列中, ,,求数列的通项公式. 【解析】:将取倒数得: ,,是以为首项,公差为2的等差数列. ,. 反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 跟踪训练6.已知数列中, ,,求数列的通项公式. 小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训. 参考答案: 证明：由已知可得：，当时，时， 满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列. 解:由已知可求,,,猜测.(用数学归纳法证明). 由已知,= . 4.时, , 作差得: ,,,,, ,,,. 5. 6. 数列 求递推数列通项公式 基础类型 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例3:已知， ，求。 解： 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ，将以上n个式子相乘，得 类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列中，若，则该数列的通项_______________ （key:） 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例5:已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解