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求数列通项公式的常用方法
溧阳市埭头中学 徐锡华 213311
数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究。高考中不论是对基础知识、基本方法，以及与其他章节知识的综合问题的考查，抓住数列的通项公式通常是解题的关键、解题的着眼点。那么如何来求数列的通项公式呢？对于等差数列、等比数列的通项公式较易求，下面给出几种常用的方法：
公式法：当已知条件中有a和s的递推关系时，往往利用公式：
a＝来求数列的通项公式。他
例题1：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式。
分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求。
解： a=a-3, a=6
s＝a－3 （nN） ①
s＝a－3 (n2且nN) ②
－ ②得：a＝a－a
a＝a，即＝3(n2且nN)
数列是以a=6，公比q为3的等比数列.
EMBED Equation.3 a＝aq＝63＝23。
例2：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式.
分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易。
解 s＝（a+），a=( a+) a=1
又a＝ s－s (n2且nN)
s＝（s－s＋）
EMBED Equation.3 2s＝s－s＋
EMBED Equation.3 s＋s＝
EMBED Equation.3 s－s＝1 (n2且nN)
EMBED Equation.3 数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。
EMBED Equation.3 s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝，
当n2时，s－s＝a＝－
将n＝1代入上式得a＝－
练习：数列前n项和为，已知＝5－3（）,求
2.累加法：求形如=＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。（其中f(n)能求前n 项和即可）。
例3.已知数列中，,求这个数列的通项公式。
分析：由已知，得，注意到数列的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。
解：数列中，，可得：
以上各式相加，
将n＝1代入上式得
练习：已知数列中，，求
3.累乘法：求形如=的递推数列通项公式的基本方法。（其中可求前n项
积即可）。
例4.若满足求这个数列的通项公式。
分析：由知数列不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。
解：
以上各式相乘得：
将n＝1代入上式得
变式练习：设是首项为1的正数组成的数列，且，则它的通项公式为 ．
4.转化法：通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。
例题5：已知数列中满足，,求数列的通项公式。
分析：将一阶线性递推关系形如可转化为
的一个新的等比数列或消常数项转化为的一个等比数列。
解法1：数列中， （n）
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 数列是以首项，公比为2的等比数列
EMBED Equation.3
解法2：数列中， = 1 \* GB3 ①
EMBED Equation.3 = 2 \* GB3 ②
= 2 \* GB3 ②－ = 1 \* GB3 ①得
EMBED Equation.3
又
EMBED Equation.DSMT4 数列是以首项公比为2的等比数列
EMBED Equation.DSMT4 ，（再利用累加法可求数列的通项公式，
以下解法略）可求得
例题6:已知数列中满足，，求数列的通项.
分析：可将形如一阶分式递推公式,(A、B、C为满足条件的常数)，等式两边取倒数得：,又可利用求形如(A’、B’为常数)的方法来求数列的通项。
解：数列 中， ，
EMBED Equation.DSMT4 ，即
EMBED Equation.DSMT4 数列是以公差为3的等差数列.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
变式练习：知数列中满足，，求数列的通项.
例题7：已知数列中满足，,求数列的通项公式。
分析：形如递推公式可转化为，若令，则转化为形如的方法来求数列的通项。(提示：将转化为，解法略。)
另外，数列通项求法还有数学归纳猜想法，可以先求出数列的前n项，然后观察前n项的规律，再进行归纳、猜想出通项，最后予以证明，例如：数列满足a1=4，=4－ EQ （n≥2），求 （理科要求，解略）；还有对数变换法，例如：形如可转化为问题解决；当然还有特征方程法等等。
以上这些方法大部分属于模型，
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