递推数列通项公式9.29.ppt

常见的拆项公式 湖南长郡卫星远程学校 2010年上学期 制作 06 遗漏 常见递推数列通项公式的求法 1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an 公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式） an= S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2) 解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2 不要遗漏n=1的情形哦！ 当n=1时, a1=1 不满足上式 因此 an= 1 (n=1) 4n －2(n≥2, ) 已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是： 注意：要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例．已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。 （1） （2） 例．已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。 （1） （2） 解： （1） ，当 时 由于 也适合于此等式 ∴ （2） ，当 时 由于 不适合于此等式 ∴ 2.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ ???+nan=3n+1,求通项an 解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) 注意n的范围 ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2） nan=3n+1－3n=2·3n 2·3n n ∴an= 而n=1时,a1=9 （n≥2） 两式相减得： ∴an= 9 (n=1) 2·3n n （n≥2, ） 类型1 类型1 求法：累加法 类型1 求法：累加法 例1 3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项an 解:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 a2 －a1 = 1 a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3 ??? an－an－1 = n －1 an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ ???+ (a2 －a1)+ a1 =(n － 1)+(n －2)+ ???+2+1+1 演练：累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列) n个等式 相加得 a1 = 1 4.已知{an}中, a1=1, an= 3n－1+an－1(n≥2), 求通项an 练 一 练 an+1 － an= n (n∈N*) 类型2 类型2 求法：累乘法 类型2 求法：累乘法 例2 演练： 累乘法 (形如an+1 =f(n)?an型) 6.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式 解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0 ∵ an+1+ an0 ∴ (n≥1) ∴ an= ... 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得 ∴ (n+1) an+1 = nan 类型3 类型3 例3 类型3 类型4 类型4 例4 类型4 例 类型5 类型5 例5 类型5 类型6 类型6 例7 类型6 类型7 其它类型 类型7 其它类型 求法：按题中指明方向求解. 例8 类型7 其它类型 求法：按题中指明方向求解. 待定系数法： ∴ 湖南长郡卫星远程学校 2010年上学期 制作 06 遗漏 * *