特征方程求递推数列通项公式.doc

特征方程求递推数列通项公式 一、一阶线性递推数列通项公式的研究与探索 若数列满足求数列的通项 它的通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设 ， 令，即，当时可得 ， 知数列是以为公比的等比数列， 将代入并整理，得. 观察可发现即为方程的根 我们称方程为递推公式的特征方程，为特征方程的根。 将上述参数法类比到二阶线性递推数列能得到什么结论？ 二、二阶线性递推数列通项公式的研究与探索 若数列满足设， 则, 令 ① 若方程组①有两组不同的实数解, 则, , 即、分别是公比为、的等比数列， 由等比数列性质可得, , ∵由上两式消去可得 . 若方程组①有两组相等的解，易证此时，则 …， ,即是等差数列， 由等差数列性质可知， 所以． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程， 结论：设递推公式为其特征方程为， 若方程有两相异根、，则； 若方程有两等根，则. 其中、可由初始条件确定。 例1.（1）已知数列满足，求数列的通项 （2）已知数列满足，求数列的通项 三、分式线性递推数列通项公式的研究与探索 仿照前面方法，等式两边同加参数， 则 ② 令，即 ③ 记此方程的两根为， 若，将分别代入②式可得 以上两式相除得， 于是得到为等比数列，其公比为， 数列的通项可由求得； （2）若，将代入②式可得, 考虑到上式结构特点，两边取倒数得 ④ 由于时方程③的两根满足，∴ 于是④式可变形为 ∴为等差数列，其公差为， 数列的通项可由求得． 这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列（）的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论： 分式线性递推数列（），其特征方程为，即， 1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为； 2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为. 例2. （1）已知数列满足,求通项. （2）已知数列满足，求数列的通项 （3）设数列满足. 例3.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有.(1)当时,求通项;