特征方程法求数列的通项公式（一）.doc

PAGE PAGE 1 特征方程法求数列的通项公式 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径. 1.已知数列满足① 其中. 定义1:方程为①的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为. 定理1:若且,则. 证明: 证毕 定理2: 若且,则. 证明: 证毕 例（09·江西·理·22）各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有. (1)当时,求通项;(2)略. 解:由得 将代入上式化简得 考虑特征方程得特征根 所以 所以数列是以为首项,公比为的等比数列 故 即 例 已知数列满足,求通项. 解: 考虑特征方程得特征根 所以数列是以为首项,公差为1的等差数列 故 即 例 已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得， 数列是以为首项，以为公比的等比数列，， 例已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得， 数列是以为首项，以为公差的等差数列，， 2.已知数列满足② 其中为常数,且. 定义2:方程为②的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为. 定理3:若,则,其中常数,且满足. 定理4: 若,则,其中常数,且满足. 设，则, 令 （*） 若方程组（*）有两组不同的解, 则, , 由等比数列性质可得, , 由上两式消去可得 . 若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则 ， ,即是等差数列， 由等差数列性质可知， 所以． 例已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，解得，令， 由，得， 例已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，解得，令， 由，得， 例:已知数列满足,求通项. 解: 考虑特征方程得特征根 则 其中 常见递推数列通项的求解方法 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。 类型一：（可以求和）累加法 （1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得： 时，， ， 所以各式相加得 即：. 为了书写方便，也可用横式来写： 时，， =. 例、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。 解析： 上述个等式相加可得： 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。 例 . （2003天津文） 已知数列｛an｝满足, 证明 证明：由已知得： = . 例.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 例.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. = 1 \* GB3 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; = 2 \* GB3 ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; = 3 \* GB3 ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; = 4 \* GB3 ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 类型一专项练习题： 1、已知，（），求。 2、已知数列，=2，=+3+2，求。 3、已知数列满足，求数列的通项公式。 4、已知中，，求。 5、已知,,求数列通项公式. 6、 已知数列满足求通项公式？（） 7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式 8、 已知数列满足，求数列的通项公式。 9、已知数列满足，，求。 10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列． （ = 1 \* ROMAN I）求的值； c=2 （ = 2 \* ROMAN II）求的通项公式． 类型二： （可以求积）累积法 （1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时，， =f(n)f(n-1). 例.设是首项为1的