线性代数-向量及其线性运算.ppt

注意: 定义３ 二、线性相关性的概念 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 相关结论P92例3-4 定理　向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解； 定理　向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解. 二、线性相关性的判断准则P91 推论　ｎ个ｎ维向量线性相关?　　　. 推论　ｎ个ｎ维向量线性无关?　　　. P91定理 解 例１ 1、设向量组 线性相关，则ｋ　　 　　. 2、设向量组 线性无关，则 必满足 　 . 自己练习： 证法 进一步：P94 定理2.6 向量组线性相关?至少有一个向量可由其余向量线性表示． 定理 向量组线性无关?任何一个向量都不能由其向量线性表示． 定理 P96 例题9 如果向量组 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示. 线性无关，而向量组 证 设 ∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） ∴α可由Ａ线性表示. 即有 下证唯一性： 两式相减有 ∵Ａ线性无关， 即表达式唯一. 设 性质 设向量组 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. P95 例7 此时A称为B的一个部分组。 说明： P95 例8 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 定理．（难点） 六、小结 作业 P97 1:(1),(3) 2 3:(2),(3) 5(2) 6(1) * Fai psai sita Econ_swun@163.com Password:111111 注意：集中精力，仔细理解 　　确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组 １、引入 一、ｎ维向量（Vector） ２、定义 ｎ个数　　　　　组成的有序数组 称为一个ｎ维向量，其中　称为第　个分量. 记作 如： ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， 如： 记作α,β,γ. ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， （Row Vector） （Column Vector） 注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、当没有明确说明时，都当作实的列向量. 几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处. 以后我们用小写希腊字母 ?，?，? 等来代表向 量. 情形， 三、n 维向量的运算 1. 两个向量相等 定义 2 . 3 如果 n 维向量 ? = ( a1 , a2 , … , an)T, ? = (b1 , b2 , … , bn )T 的对应分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, … , n ) , 就称这两个向量是相等的，记作 ? = ? . 2. 向量的加法 1) 定义 定义 2 . 4 向量 ? = ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn )T 称为向量 ? = ( a1 , a2 , … , an)T, ? = (b1 , b2 , … , bn )T 的和，记为 ? = ? + ? . 2) 运算规律 交换律　 ? + ? = ? + ? . 结合律　 ? + ( ? + ? ) = ( ? + ? ) + ? . 4) 负向量 定义 向量 ( - a1 , - a2 , … , - an )T 称为向量 ? = (a1, a2, …, an) 的负向量，记为 - ? . 显然，对于所有的 ? ，都有 ? + 0 = ? ， ? + ( - ? ) = 0 . 5) 向量减法运算 定义 ? - ? = ? + ( - ? ) . 3. 数量乘积 定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量 ( ka1 , ka2 , … , kan ) 称为向量 ? = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积， 记为 k? . 1) 定义 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运 算. 显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍 为数域 F 上的向量. 2) 运算规律 k (? + ? ) =k ? + k ? , (k + l ) ? = k ?