导数 直线与圆 微积分.doc

　　1、导数定义的认知与应用；　　2、求导公式与运算法则的运用；　　3、导数的几何意义；　　4、导数在研究函数单调性上的应用；　　5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；　　6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点　　（一）导数　　1、导数的概念　　（1）导数的定义认知：（）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。　　（）求函数 在点 处的导数的三部曲：　　求函数的增量 ；　　求平均变化率 ；　　求极限 　　上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。　　（2）导数的几何意义：　　函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。　　2、求导公式与求导运算法则　　（1）基本函数的导数（求导公式）　　公式1　　 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。　　公式2　　 幂函数的导数： 。　　公式3　　 正弦函数的导数： 。　　公式4　　 余弦函数的导数： 　　公式5　　 对数函数的导数：　　（） ；　　（） 　　公式6　　 指数函数的导数：　　（） ；　　（） 。　　（2）可导函数四则运算的求导法则　　设 为可导函数，则有　　法则1　　 ；　　法则2　　 ；　　法则3　　 。　　3、复合函数的导数　　（1）复合函数的求导法则　　设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，　　即 。　　引申：设 ， 复合成函数 ， 则有 　　（2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：　　 ；　　（）运用上述法则求复合函数导数的解题思路　　分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；　　求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；　　还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。　　二、导数的应用　　1、函数的单调性　　（1）导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。　　（2）利用导数求函数单调性的步骤　　（）确定函数 的定义域；　　（）求导数 ；　　（）令 ，解出相应的x的范围　　当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。　　（3）强调与认知　　（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，则应用 ；　　（）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。　　举例：　　（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。　　（2） 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。　　2、函数的极值　　（1）函数的极值的定义　　设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极大值，记作 ；　　如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作 。　　极大值与极小值统称极值　　认知：由函数的极值定义可知：　　（）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；　　（）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数 可导，且在点 处连续，判定 是极大（小）值的方法是（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值；（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：　　（）求导数 ；