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工程数学教案行列式的性质与计算.doc

发布:2017-03-26约1.42千字共3页下载文档
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教案头 授课班级 参考课时 2 学习情境/单元模块/项目名称:n阶行列式 子情景名称:行列式的性质与计算 本次课完成子情境内容:行列式的性质与计算方法 学习目标 能力目标 理解阶行列式的概念,熟练掌握行列式的计算方法。 知识目标 行列式的计算与性质 学习重点 在已熟练掌握二阶、三阶行列式的计算的基础上,进一步学习行列式的性质和克莱姆法则 学习难点 行列式的性质和克莱姆法则 教学方法 教师讲解结合学生练习 参考资料 《工程数学》李天然主编 教学详案 一、回顾导入(20分钟) ——复习行列式的概念,按照定义计算一个四阶行列式,一般需要计算四个三阶行列式,如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦,为简化行列式的计算,我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程(60分钟,其中学生练习20分钟) 一、行列式的性质 定义 将行列式D的行换为同序数的列就得到D的转置行列式,记为。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。 推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和。 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。 二、行列式按行(列)展开 定义 在n阶行列式中,把元素所在的第i行和第j列划去后,留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作。记,叫做元素的代数余子式。 引理 一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除外都为零,那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即。 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 。 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 。 行列式的代数余子式的重要性质: ?? 范德蒙德(Vandermonde)行列式 ? 二、克莱姆法则 定理 如果线性方程组(1) 的系数行列式不等于零,即 ? 那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解可以表示为 。 其中是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 定理 如果线性方程组(1)的系数行列式,则(1)一定有解,且解是唯一的。 定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。 定理 如果齐次线性方程组 (2) 的系数行列式,则齐次线性方程组(2)没有非零解。 定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则齐次线性方程组(2)的系数行列式必为零。 三、归纳总结(10分钟) 应用行列式的性质计算行列式特别是高阶行列式,可以简化计算;用克莱姆法则解线性方程组的基本步骤。 四、课后作业 练习:1.如果行列式有两行的对应元素成比例,则此行列式的值为 ; 2.如果行列式有两行的对应元素相同,则此行列式的值为( ) 3. ; ;
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