同济六版高等数学二章01.ppt

第二章 §2.1 导数概念 一、引例 两个问题的共性: 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 内容小结 思考与练习 2. 设 5. 设 作业 上页 下页 铃 结束 返回 首页 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 英国数学家 Newton 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 上页 下页 铃 结束 返回 首页 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t),求瞬时速度. 以t0为起始时刻? 物体在?t时间内的平均速度为 此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值? ?t越小? 近似的程度就越好? 因此当?t?0时? 极限 1.直线运动的速度 就是物体在t0时刻的瞬时速度. 下页 求曲线y=f(x)在点M(x0? y0)处的切线的斜率? 在曲线上另取一点N(x0+?x? y0+?y)? 作割线MN? 设其倾角为j ? 观察切线的形成? 2.切线问题 当?x?0时? 动点N将沿曲线趋向于定点M? 从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT? 此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率? 动画演示 . 首页 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 存在? 则称函数f(x)在点x0处可导? 并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数? 记为f ?(x0)? 即 下页 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义? 如果极限 导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在? 则称函数f(x)在点x0处不可导? 导数的其它符号 下页 导数的其它定义式 导数的定义式: 例1 求函数y=x2在点x=2处的导数? 解 . 或 . 下页 导数的定义式: 导数的定义式: 导函数的定义 如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值? 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数? 简称导数? 记作 提问: 导函数的定义式如何写? 下页 例2 求函数f(x)=C 的导数(C为常数) ? 解 即 (C)?=0? 下页 2.求导数举例 解 例3 解 例4 下页 2.求导数举例 2.求导数举例 例5 求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数? 更一般地? 有 (x m)?=mxm-1(其中m为常数)? 把以上结果中的a换成x得f ?(x)=nxn-1? 即(xn)?=nxn-1? 解 =nan-1? (xn-1+axn-2+ ? ? ? +an-1) 下页 2.求导数举例 例6 求函数f(x)=sin x的导数? 解 下页 (sin x)?=cos x? 同理可得(cos x)?=-sin x ? 2.求导数举例 例7 求函数f(x)=ax(a0? a ?1)的导数? 解 下页 (sin x)?=cos x? (cos x)?=-sin x ? (ax)?=axln a? 特别地有(ex )?=ex ? 2.求导数举例 例8 求对数函数y=log ax的导数? 解 下页 (sin x)?=cos x? (cos x)?=-sin x ? (ax)?=axln a? 2.求导数举例 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式. 下页 特别地有 特别地有(ex )?=ex ? 3.单侧导数 导数与单侧导数的关系 函数f(x)在开区间(a? b)内可导是指函数在区间内每一点可导?